Question

resolva passo a passo o limite, sem derivadas.

Answer 1

$\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}=\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(x-4)(x-2)}=$

$\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(x-4)(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})}=$

$\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{(x-4)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=$

$\dfrac{1}{(2-4)(\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\boxed{-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}}$

Answer 2

Olá, boa noite.

Devemos calcular o valor do seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^2-6x+8}$

Multiplique a fração por um fator $\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$

Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença: $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x^2-6x+8)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Fatore a expressão quadrática no denominador: $x^2-6x+8=(x-2)\cdot(x-4)$

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Simplifique a fração por um fator $x-2$.

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Lembre-se que:

• O limite de uma função racional $\dfrac{f(x)}{g(x)}$, em que $f(x),~g(x)$ são contínuas pode ser calculado pela propriedade: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}$.
• O limite de uma constante é igual a própria constante.
• O limite de um produto de funções $f(x)\cdot g(x)$, em que $f(x),~g(x)$ são contínuas pode ser calculado pela propriedade: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)$.
• O limite de uma função contínua é igual ao valor da função no ponto: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$.

Assim, teremos:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~1}{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$.

Aplique a propriedade da constante e do produto

$\dfrac{1}{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(x-4)\cdot\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Calcule o limite das funções

$\dfrac{1}{(2-4)\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{2})}$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{1}{(-2)\cdot2\sqrt{2}}\\\\\\ -\dfrac{1}{4\sqrt{2}}~~\checkmark$

Este é o resultado deste limite.