Question

Resolva para X E [0,2 pi]
a) 2 cos(ao quadrado)X-cosX=0
b) 1+tg(ao quadrado)X = cos X

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Resolver as equa\c{c}\~oes trigonom\'etricas no intervalo }\mathsf{[0,\,2\pi]:}\\\\\\ \textsf{a) }\mathsf{2\,cos^2\,x-cos\,x=0}\\\\ \textsf{Mudan\c{c}a de vari\'avel:}\\\\ \mathsf{cos\,x=t}\qquad\mathsf{(-1\le t\le 1)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Substituiqndo a equa\c{c}\~ao fica:}\\\\ \mathsf{2t^2-t=0}\\\\ \mathsf{t(2t-1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2t-1=0}\\\\ \mathsf{t=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2t=1}\\\\ \mathsf{t=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t=\dfrac{1}{2}} \end{array} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Voltando \`a vari\'avel x:}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{cos\,x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{cos\,x=\dfrac{1}{2}} \end{array} \end{array}$


•   $\large\begin{array}{l} \textsf{De }\mathsf{cos\,x=0,}\textsf{ obtemos} \end{array}$

$\large\begin{array}{l}\boxed{\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{3\pi}{2}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


•   $\large\begin{array}{l} \textsf{De }\mathsf{cos\,x=\dfrac{1}{2},}\textsf{ obtemos} \end{array}$

$\large\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{6\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{6\pi-\pi}{3}} \end{array}\\\\ \boxed{\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{5\pi}{3}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Conjunto solu\c{c}\~ao: }\mathsf{S=\left\{\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2},\,\dfrac{5\pi}{3} \right \}.} \end{array}$

___________


$\large\begin{array}{l}\textsf{b) } \mathsf{1+tg^2\,x=cos\,x}\\\\ \mathsf{1+\Big(\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\Big)^{\!2}=cos\,x}\\\\ \mathsf{1+\dfrac{sen^2\,x}{cos^2\,x}=cos\,x} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\textsf{Reduzindo o lado esquerdo ao mesmo denominador:}\\\\ \mathsf{\dfrac{cos^2\,x}{cos^2\,x}+\dfrac{sen^2\,x}{cos^2\,x}=cos\,x}\\\\ \mathsf{\dfrac{cos^2\,x+sen^2\,x}{cos^2\,x}=cos\,x}\qquad\textsf{(mas }\mathsf{cos^2\,x+sen^2\,x=1}\textsf{)}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{cos^2\,x}=cos\,x}\\\\ \mathsf{cos^3\,x=1}\\\\ \mathsf{cos\,x=\,^3\!\!\!\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{cos\,x=1} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \boxed{\begin{array}{rcl} \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=2\pi} \end{array} }\qquad\quad\checkmark\\\\\\ \textsf{Conjunto solu\c{c}\~ao: }\mathsf{S=\{0,\,2\pi\}.} \end{array}$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7781431


$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: equação trigonométrica cosseno cos tangente tan tg mudança de variável solução resolver