Resolva os sistemas de equações do 1.° grau com duas incógnita empregando qualquer método de resolução e assinale a opção correta dos resultados obtidos em cada item. *
x=2y
x+y=15
escolha a resposta correta
S = {(5;10)}.
S = {(–10; –5)}.
S = {(10;5)}.
Soluções para a tarefa
Resposta:
1. Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6) ∈
4 ℜ como combinação linear dos vetores
v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0).
Solução.
Temos que encontrar escalares α, β, γ tal que
(-1, 4, -4, 6) = α (3, -3, 1, 0) + β (0, 1, -1, 2) + γ (1, -1, 0, 0).
O que equivale resolver o sistema:
γ = 2
α = −1
β = 3
⇒
2β = 6
α − β = −4
− 3α + β − γ = 4
3α + γ = −1
.
Logo, u = - v1 + 3v2 + 2v3.
2. Determine os subespaços do 3 ℜ gerados pelos seguintes conjuntos:
(a) A = {(2, -1, 3)}
(b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)}
Solução.
(a) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(2, -1, 3)
Daí,
2
3
x a
x b
x c
=
− =
=
Logo, S= {(a, b, c) 3 ∈ℜ / a = -2b e c = -3b} = {(-2b, b, -3b)/ b ∈ℜ}.
(b) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(-1, 3, 2) + y(2, -2, 1)
Daí,
2 + =
3 − 2 =
− + 2 =
x y c
x y b
x y a
.
Escalonando,
2 1
3 − 2
−1 2
c
b
a
L1 ← −L1 ⇒
2 1
3 − 2
1 − 2 −
c
b
a
L2 ← −3L1 + L2 ⇒
2 1
0 4 3 +
1 − 2 −
c
a b
a
3 1 + 3 L ← −2L L ⇒
0 5 2 +
0 4 3 +
1 − 2 −
a c
a b
a
.
Obtemos o seguinte sistema equivalente:
=
=
5
2 +
4
3 +
a c
a b
y
y
⇒ 7.a +5b -4c = 0.
Lembrando que as aluas agora são: segunda sala 204 e quarta sala 404
GAN00007 – Introdução à Álgebra Linear – B1 – 2014.1 – Profa. Ana Maria Luz
Lista de Exercícios 8 - Resolução
Logo, S= {(a, b, c) 3 ∈ℜ / 7.a + 5b - 4c = 0}.
c) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
(d) Então, (a, b, c) = x(1, 0, 1) +y(0, 1, 1) + z(-1, 1, 0)
Daí,
+ =
+ =
− =
x y c
y z b
x z a
.
Escalonando,
1 1 0
0 1 1
1 0 −1
c
b
a
L3 ← −L1 + L3 ⇒
− +
0 1 1
0 1 1
1 0 −1
a c
b
a
L3 ← −L2 + L3 ⇒
− − +
0 0 0
0 1 1
1 0 −1
a b c
b
a
.
Logo, S= {(a, b, c) 3 ∈ℜ / a + b - c = 0}.
3. Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0, -1), (1, 1,0), (k, 1, -1)} seja
LI.
Solução.
Considere a equação
x(1, 0, -1) + y(1, 1, 0) + z(k, 1, -1) = (0, 0, 0). Daí, obtemos o sistema
homogêneo
− − = 0
+ = 0
+ + = 0
x z
y z
x y kz
ou (2 − k)x = 0 . Para que os vetores sejam LI, x tem que
ser zero, ou k ≠ 2 .
4. Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(a) S = {(x, y, z)
3 ∈ℜ / y = 2x}
(b) S = {(x, y)
3 ∈ℜ / x + y = 0}
(c) S = {(x, y, z)
3 ∈ℜ / 2x – y + 3z = 0}
(d) S = {(x, y, x); x, y ∈ ℜ }
(e) S = {(x, y, z, w); x - 3y + z = 0}
(f) S = {(x, y, z) ∈ ℜ
3
/ x = 3y e z = -y}
Solução
(a) Se (x, y, z) ∈ S ⇒ (x, y, z) = (x, 2x, z) = x(1, 2, 0) + z (0, 0, 1). Então, todo
vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 2, 0) e (0, 0, 1). Como estes vetores
são LI, o conjunto {(1, 2, 0) e (0, 0, 1)} é uma base de S.
(b) Se (x, y) ∈ S ⇒ (x, y) = (x, -x) = x(1, -1). Então, todo vetor de S é combinação
linear do vetor (1, -1). Como este vetor é LI, o conjunto {(1, -1)} é uma base de
Explicação passo-a-passo:
Demoro Vey le ae
Na solução o "x" sempre vem antes do "y", por isso é "(10;5)", e não "(5;10)".
