Question

RESOLVA OS SISTEMAS:
a)
X + Y = 7
2X² - Y² = 46

b)
X - Y  = 2
X² + Y² = 34

c)
2X - 3Y = 1
X . Y = 2

Answer 1

Olá, Lucas !

a) $\begin{cases} x+y=7 \\ 2x^2-y^2=46 \end{cases}$.

Da primeira equação, temos $y=7-x$. Substituindo na segunda, obtemos:

$2x^2-(7-x)^2=46~\Rightarrow~2x^2-49+14x-x^2-46=0~\Rightarrow~x^2+14x-95=0$

$\Delta=14^2-4\cdot1\cdot(-95)=196+380=576$

Assim, $x=\dfrac{-14\pm\sqrt{576}}{2}=\dfrac{-14\pm24}{2}=-7\pm12$.

$x'=-7+12=5$ e $x"=-7-12=-19$.

Se $x=5$, temos $y=7-5=2$.

Se $x=-19$, obtemos $y=7-(-19)=26$

As soluções são $(x,y)=(5,2)$ e $(x,y)=(-19,26)$.


b) $\begin{cases} x-y=2 \\ x^2+y^2=34 \end{cases}$

Como $x-y=2$, temos $(x-y)^2=2^2~\Rightarrow~x^2-2xy+y^2=4$.

Mas, $x^2+y^2=34$, logo, $34-2xy=4$, ou seja, $xy=15$.

Da primeira equação, temos $x=2+y$. Logo, $(2+y)y=15$, isto é, $y^2+2y-15=0$.

$y=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot1}=\dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\dfrac{-2\pm8}{2}$.

Assim, $y'=\dfrac{-2+8}{2}=3$ e $y"=\dfrac{-2-8}{2}=-5$.

Para $y=3$, temos $x=2+3=5$. Para $y=-5$, obtemos $x=2+(-5)=-3$.

As soluções são $(x,y)=(5,3)$ e $(x,y)=(-3,-5)$.


c) $\begin{cases} 2x-3y=1 \\ xy=2 \end{cases}$

Da segunda equação, temos $x=\dfrac{2}{y}$. Substituindo na primeira, obtemos:
$\dfrac{4}{y}-3y=1~\Rightarrow~3y^2+y-4=0$

$\Delta=1^2-4\cdot3\cdot(-4)=1+48=49$.

Deste modo, $y=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}=\dfrac{-1\pm7}{6}$.

$y'=\dfrac{-1+7}{6}=1$ e $x"=\dfrac{-1-7}{6}=\dfrac{-8}{6}=\dfrac{-4}{3}$.

Se $y=1$, temos $x=\dfrac{2}{1}=2$.

Se $y=\dfrac{-4}{3}$, obtemos $x=\dfrac{2}{\dfrac{-4}{3}}=\dfrac{-3}{2}$.

As soluções são $(x,y)=(\frac{-3}{2},\frac{-4}{3})$ e $(x,y)=(2,1)$..

Espero ter ajudado ^^

Answer 2

a) x + y = 7⇒ x = 7 - y
2x² - y² = 46
2[( 7 - y) ( 7 - y)] - y² = 46
2 ( 49 - 14y + y²) - y² - 46 = 0
98 - 28y + 2y² - y² - 46 = 0
y² - 28y + 52 = 0
a = 1
b = -28
c = 52
Δ = b² - 4ac
Δ = (-28)² - 4.1.52 ⇒ Δ = 784 - 208 ⇒ Δ = 576
y = -b +- √Δ / 2a
y = - (-28) +- √ 576 /2.1
y = 28 +- 24 /2
y' = 52/2 ⇒ y' = 26
y" = 4/2 ⇒ y" = 2

x = 7 - y
x' = 7 - 26 ⇒ x' = - 19
x" = 7-2 ⇒ x" = 5

b) x - y = 2 ⇒ x = 2 + y
x² + y² = 34

(2 + y). (2 + y) + y² = 34
4 + 2y + 2y + y² + y² - 34 =0
2y² + 4y - 30 = 0  :2
y² + 2y -15 = 0
a = 1
b = 2
c = -15
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² -4.1.(-15) ⇒ Δ = 4 + 60 ⇒ Δ = 64
y = -b +- √Δ /2a
y = -2 +- √64/ 2.1
y = -2 +- 8/2
y' = 6/2 ⇒ y' = 3
y" = -10/2 ⇒ y" = - 5
x = 2 + y
x' = 2 + 3 ⇒ x' = 5
x" = 2 - 5 ⇒ x" = - 3

c) 2x - 3y = 1 ⇒ 2x = 1 + 3y ⇒ x = 1 + 3y / 2

y ( 1 + 3y / 2) = 2
y + 3y² / 2 = 2
y + 3y² = 4
3y² + y -4 = 0

a = 3
b = 1
c = -4
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4.3.(-4) ⇒ Δ = 1 + 48 ⇒ Δ = 49
y = -b + - √Δ / 2a
y = -1 + - 7 / 6
y' = 6/6 ⇒ y' = 1
y" = -8/6 ⇒ y" = - 4/3

x = 1 + 3y /2
x' = 1 + 3(1) /2 ⇒ x' = 4/2 ⇒ x' = 2
x" = 1 + 3 ( - 4/3)/2 ⇒x" = 1 - 12/3 /2 ⇒ x" = 1 - 4 /2 ⇒x" = -3/2