Question

Resolva os sistemas.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf \begin{cases} \sf 2^x=\dfrac{1}{2^{4+y}} \\ \\ \sf log_{2}~(2x+y)=1 \end{cases}$

Isolando $\sf y$ na segunda equação:

$\sf log_{2}~(2x+y)=1$

$\sf 2x+y=2^1$

$\sf 2x+y=2$

$\sf y=2-2x$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 2^x=\dfrac{1}{2^{4+y}}$

$\sf 2^x=\dfrac{1}{2^{4+2-2x}}$

$\sf 2^x=\dfrac{1}{2^{6-2x}}$

$\sf 2^x=2^{-(6-2x)}$

$\sf 2^x=2^{2x-6}$

Igualando os expoentes:

$\sf x=2x-6$

$\sf x-2x=-6$

$\sf -x=-6~~~~~~~\cdot(-1)$

$\sf \red{x=6}$

Assim:

$\sf y=2-2x$

$\sf y=2-2\cdot6$

$\sf y=2-12$

$\sf \red{y=-10}$

A solução é $\sf (6,-10)$

b)

$\sf \begin{cases} \sf 8^x=2^{y+1} \\ \sf log_{3}~x=1+log_{3}~y \end{cases}$

Isolando $\sf x$ na segunda equação:

$\sf log_{3}~x=1+log_{3}~y$

$\sf log_{3}~x=log_{3}~3+log_{3}~y$

$\sf log_{3}~x=log_{3}~3y$

$\sf x=3y$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 8^x=2^{y+1}$

$\sf 8^{3y}=2^{y+1}$

$\sf (2^3)^{3y}=2^{y+1}$

$\sf 2^{9y}=2^{y+1}$

Igualando os expoentes:

$\sf 9y=y+1$

$\sf 9y-y=1$

$\sf 8y=1$

$\sf \red{y=\dfrac{1}{8}}$

Assim:

$\sf x=3y$

$\sf x=3\cdot\dfrac{1}{8}$

$\sf \red{x=\dfrac{3}{8}}$

A solução é $\sf \Big(\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{8}\Big)$

c)

$\sf \begin{cases} \sf log~(xy)=30 \\ \sf log~x\cdot log~y=200 \end{cases}$

$\sf \begin{cases} \sf log~x+log~y=30 \\ \sf log~x\cdot log~y=200 \end{cases}$

Sejam $\sf log~x=m~e~log~y=n$

$\sf \begin{cases} \sf m+n=30 \\ \sf m\cdot n=200 \end{cases}$

Isolando $\sf n$ na primeira equação:

$\sf m+n=30$

$\sf n=30-m$

Substituindo na segunda equação:

$\sf m\cdot n=200$

$\sf m\cdot(30-m)=200$

$\sf 30m-m^2=200$

$\sf -m^2+30m-200=0~~~~\cdot(-1)$

$\sf m^2-30m+200=0$

$\sf \Delta=(-30)^2-4\cdot1\cdot200$

$\sf \Delta=900-800$

$\sf \Delta=100$

$\sf m=\dfrac{-(-30)\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}=\dfrac{30\pm10}{2}$

$\sf m'=\dfrac{30+10}{2}~\Rightarrow~m'=\dfrac{40}{2}~\Rightarrow~\red{m'=20}$

$\sf m"=\dfrac{30-10}{2}~\Rightarrow~m"=\dfrac{20}{2}~\Rightarrow~\red{m"=10}$

=> Para m = 20:

$\sf n=30-m$

$\sf n=30-20$

$\sf \red{n=10}$

=> Para m = 10:

$\sf n=30-m$

$\sf n=30-10$

$\sf \red{n=20}$

Há duas possibilidades:

1) $\sf m=20~e~n=10$

• $\sf log~x=m$

$\sf log~x=20$

$\sf \red{x=10^{20}}$

• $\sf log~y=n$

$\sf log~y=10$

$\sf \red{y=10^{10}}$

2) $\sf m=10~e~n=20$

• $\sf log~x=m$

$\sf log~x=10$

$\sf \red{x=10^{10}}$

• $\sf log~y=n$

$\sf log~y=20$

$\sf \red{y=10^{20}}$

As soluções são $\sf (10^{20},10^{10})~e~(10^{10},10^{20})$

d)

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~x+log_{2}~y=1 \\ \sf 3^{log_{2}~x}=2^{log_{2}~3} \end{cases}$

Da segunda equação:

$\sf 3^{log_{2}~x}=2^{log_{2}~3}$

$\sf 3^{log_{2}~x}=3$

$\sf 3^{log_{2}~x}=3^1$

Igualando os expoentes:

$\sf log_{2}~x=1$

$\sf x=2^1$

$\sf \red{x=2}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf log_{2}~x+log_{2}~y=1$

$\sf log_{2}~2+log_{2}~y=1$

$\sf 1+log_{2}~y=1$

$\sf log_{2}~y=1-1$

$\sf log_{2}~y=0$

$\sf y=2^0$

$\sf \red{y=1}$

A solução é $\sf (2,1)$

e)

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~4^x=y+1 \\ \sf log_{3}~3=x+2 \end{cases}$

Da segunda equação:

$\sf log_{3}~3=x+2$

$\sf 1=x+2$

$\sf -x=2-1$

$\sf -x=1~~~~~\cdot(-1)$

$\sf \red{x=-1}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf log_{2}~4^x=y+1$

$\sf log_{2}~4^{-1}=y+1$

$\sf log_{2}~\dfrac{1}{4}=y+1$

$\sf log_{2}~\dfrac{1}{2^2}=y+1$

$\sf log_{2}~2^{-2}=y+1$

$\sf -2=y+1$

$\sf -y=1+2$

$\sf -y=3~~~~~\cdot(-1)$

$\sf \red{y=-3}$

A solução é $\sf (-1,-3)$

f)

$\sf \begin{cases} \sf x+y=\dfrac{4}{3} \\ \\ \sf log_{3}~x-log_{3}~y=1 \end{cases}$

Isolando $\sf x$ na segunda equação:

$\sf log_{3}~x-log_{3}~y=1$

$\sf log_{3}~\Big(\dfrac{x}{y}\Big)=1$

$\sf \dfrac{x}{y}=3^1$

$\sf \dfrac{x}{y}=3$

$\sf x=3y$

Substituindo na primeira equação:

$\sf x+y=\dfrac{4}{3}$

$\sf 3y+y=\dfrac{4}{3}$

$\sf 4y=\dfrac{4}{3}$

$\sf 3\cdot4y=4$

$\sf 12y=4$

$\sf y=\dfrac{4}{12}$

$\sf \red{y=\dfrac{1}{3}}$

Assim:

$\sf x=3y$

$\sf x=3\cdot\dfrac{1}{3}$

$\sf x=\dfrac{3}{3}$

$\sf \red{x=1}$

A solução é $\sf \Big(1,\dfrac{1}{3}\Big)$