Question

Resolva os seguintes sistemas usando números reais.
a)2x+y=5
x²-y²=8


b)2x-y=3
5x+y²=1

c)x-2y=6
XY=8

Answer 1

a)
Método da Substituição:

2x + y = 5    I
x² - y² =8     II

Isolar "y" em I:
2x + y = 5
y = 5 - 2x

Substituir em II:

x² - y² = 8
x² - (5 - 2x)² = 8
x² - (- 2x + 5)² = 8
x² - [4x² + 2.5.(- 2x) + 25] = 8
x² - [ 4x² - 20x + 25] = 8 
x² - 4x² + 20x - 25 = 8
- 3x² + 20x - 25 - 8 = 0
- 3x² + 20x - 33 = 0 ( - 1)

3x² - 20x + 33 = 0

a = 3; b = - 20; c = 33

Δ = b² - 4ac
Δ = (-20)² - 4.3.33
Δ = 400 - 12.33
Δ = 400 - 396
Δ = 4

x = - b +/- √Δ = - (-20) +/- √4
           2a             2.3

x = 20 + 2 = 22  (:2) =  11
          6        6   (:2)      3

x = 20 - 2 = 18 = 3
          6        6

x = 3
2x + y = 5
 2.3 + y = 5
6 + y = 5
y = 5 - 6
y = - 1 

x = 11/3
2x + y = 5
2.11 + y = 5
    3
22 + y = 5
 3

mmc: 3

22 + 3y = 15
    3           3

22 + 3y = 15
3y = 15 - 22
3y = - 7
y = - 7/3

R.:
x = 11/3 ; y = - 7/3
x = 3; y = - 1
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b) 
2x - y = 3            (I)
5x + y² = 1          (II)

Isolar "y" em I:
2x - y = 3
2x - 3 = y
y = 2x - 3

Substituir em II:

5x + y² = 1
5x + (2x - 3)² = 1
5x + 4x² - 2.2x.3 + 9 = 1
5x + 4x² - 12x + 9 - 1 = 0

4x² - 7x + 8 = 0
a = 4; b = - 7; c = 8

Δ = b² - 4ac
Δ = (-7)² - 4.4.8
Δ = 49 -16.8
Δ = 49 - 128
Δ = - 79
(não há solução para os Reais, pois Δ < 0)
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c)
x - 2y = 6     I
x.y = 8         II

Isolar "x" em I:
x = 6 + 2y

Substituir em II:
x.y = 8

(6 + 2y).y = 8
y(6 + 2y) = 8
6y + 2y² = 8
2y² + 6y - 8 = 0  (:2)
y² + 3y - 4 = 0

a = 1; b = 3; c = - 4

Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4.1.(-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

y = - b +/- √Δ = - 3 + /- √25
          2a                2.1

y = - 3 + 5 = 2/2 = 1
          2

y = - 3 - 5 = - 8/2 = - 4
          2

y = 1
x - 2y = 6
x - 2.1 = 6
x - 2 = 6
x = 6 + 2
x = 8

y = - 4
x - 2y = 6
x - 2.(-4) = 6
x + 8 = 6
x = 6 - 8
x = - 2

x.y = 8
8.1 = 8
-2.(-4) = 8
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R.:
x = - 2 ; y = - 4
x = 8; y = 1