Question

Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) (2x-y)dx+(2y-x)dy=0, y(1)=3 ; b) (9x^2+y-1)dx-(4y-x)dy=0, y(1)=0

Answer 1

✅ Considerando as Equações Diferenciais Ordinárias e observando que o problema pede a solução de um Problema de Valor Inicial, temos então as soluções específicas:

$\large\begin{array}{lr}\rm a)~~ x^2+y^2-yx = 7 \\\rm b)~~ 3x^3 +yx -x - 2y^2 = 2 \end{array}$

 

☁️ Teorema de existência e unicidade da solução de uma EDO: Seja $\rm f: \varOmega \longrightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua definida num aberto $\varOmega$ de $\mathbb{R}^2$. Suponhamos que a derivada parcial com relação à $\rm y$, $\rm {f_y}: \varOmega \longrightarrow \mathbb{R}$ seja contínua também. Então, para cada $\rm (x_0,y_0) \in \varOmega$, existem um intervalo aberto $\rm I$ contendo $\rm x_0$ e uma única função diferenciável $\rm \phi: I \longrightarrow \mathbb{R}$ com $\rm (x,\phi(x)) \in \varOmega$ para todo $\rm x \in I$, que é solução do problema de valor inicial.

 

ℹ️ O que o teorema nos diz é que fixada as hipóteses e dado um ponto $\rm P(x_0, y_0)$, existe uma única curva que passa por $\rm P$ e soluciona a EDO.

 

⚠️ Nosso problema aqui é encontrar uma curva desconhecida. Note ainda que as equações são de primeira ordem. Como queremos encontrar curvas, podemos nos amparar na belíssima teoria de campos vetoriais.

 

✍️ Solução:

a) Note que as EDOs já estão escritas no formato de campo vetorial $\rm P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0$, como não são separáveis, avaliemos o rotacional, se for nulo a EDO é exata e basta encontrar uma função potencial

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y} = -1 \\\\\rm \dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = -1\\\\\rm \therefore\: \nabla \times F = 0 \end{array}$

❏ Basta encontrar uma função potencial, dado que o campo é conservativo:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm i)~\phi(x,y) = \int Q(x,y)\,dy = -xy + y^2 + g(x) \\\\\rm ii)~ \dfrac{\partial\phi}{\partial x} = -y + \dot{g}(x) \end{array}$

❏ Comparando $\rm \phi_x$ com $\rm P(x,y)$, chegamos em:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \dot{g}(x) = 2x \Rightarrow g(x) = \int 2x\,dx = x^2 \end{array}$

❏ As soluções gerais serão as curvas de nível da função potencial $\rm \phi(x,y)$

$\large\begin{array}{lr}{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: x^2+y^2-yx = \mathbb{C}}}}}\end{array}$

❏ Então, pelo teorema de existência e unicidade, dado $\rm y(1)=3$, a solução específica será:

$\large\begin{array}{lr}\rm x^2+y^2-yx = \mathbb{C}, ~~\forall\: x = 1 ~\land~y=3 \Rightarrow \mathbb{C} = 7 \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:x^2+y^2-yx = 7}}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$

 

b) Note que, mais uma vez a EDO é exata, pois o rotacional do campo é nulo então, faremos o mesmo que o item anterior.

❏ Rotacional:

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y} = 1 \\\\\rm \dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = 1\\\\\rm \therefore\: \nabla \times F = 0 \end{array}$

❏ Sendo o campo conservativo, conseguiremos determinar uma função potencial $\rm \phi(x,y)$, que será a solução geral da equação

$\large\begin{array}{lr} \displaystyle \rm i)~\phi(x,y) = \int 9x^2+y-1 \,dx = 3x^3 +yx -x + g(y) \\\\\rm ii)~\dfrac{\partial\phi}{\partial y} = x + \dot{g}(y) \\\\\displaystyle\rm iii)~\dot{g}(y) = -4y \Rightarrow g(y) = \int -4y\,dy = -2y^2\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:3x^3 +yx -x - 2y^2 = \mathbb{C}}}}}\end{array}$

❏ Novamente, as curvas de nível da função potencial, são as soluções gerais. Entretanto, a solução do P.V.I. dado que $\rm y(1) = 0$ será:

$\large\begin{array}{lr}\rm 3x^3 +yx -x - 2y^2 = \mathbb{C}, ~~\forall\: x = 1 ~\land~y=0\Rightarrow \mathbb{C} = 2 \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:3x^3 +yx -x - 2y^2 = 2}}}}\\\quad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$

 

✔️ Essas são as soluções específicas das equações diferenciais ordinárias exatas não lineares!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre EDO exata, PVI, curvas integrais de campos vetoriais:

• brainly.com.br/tarefa/52530489

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$