Matemática, perguntado por mariamarques20201987, 6 meses atrás

resolva os seguintes linear 2x + y - 8z = -5
x + y - 2z = 0
x + 2y + 3z = 6

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Após a resolução, podemos afirmar que este sistema de três equações é possível e determinado, e seu conjunto solução é S = {(1 , 1 , 1)}.

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Dado o seguinte sistema linear 3x3:

$\Large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf~2x+y-8z=-5~~~\mathnormal{(\,I\,)}\\\sf~x+y-2z=0~~~~~~\mathnormal{(\,II\,)}\\\sf~x+2y+3z=6~~~~\mathnormal{(\,III\,)}\end{cases}\end{array}\\\\$

Afim de resolvê-lo vamos fazer pelo método da substituição. Esse método num sistema 3x3, consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituir o seu valor nas outras equações, assim formando um novo sistema 2x2, e a partir dali podemos usar outro método que acharmos conveniente.

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Assim, vamos começar na equação ( ɪɪɪ ). Nela podemos isolar x

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x+2y+3z=6\\\\\sf\iff~~~x=6-2y-3z\end{array}\\\\$

, e com esse valor estipulado para x podemos substituir nas equações ( ɪ ) e ( ɪɪ ):

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \begin{cases}\sf~2x+y-8z=-5\\\sf~x+y-2z=0\end{cases}\\\\\sf\iff~~~\begin{cases}\sf~2(6-2y-3z)+y-8z=-5\\\sf~(6-2y-3z)+y-2z=0\end{cases}\\\\\sf\iff~~~\begin{cases}\sf~12-4y-6z+y-8z=-5\\\sf~6-2y-3z+y-2z=0\end{cases}\\\\\sf\iff~~~\begin{cases}\sf\,-\,3y-14z=-\,5-12\\\sf\,-\,y-5z=0-6\end{cases}\\\\\sf\iff~~~\begin{cases}\sf\,-\,3y-14z=-\,17~~~\mathnormal{(\,IV\,)}\\\sf\,-\,y-5z=-\,6~~~~~~~~\mathnormal{(\,V\,)}\end{cases}\end{array}\\\\$

Veja que formamos um sistema 2x2, assim vamos usar novamente o método da substituição, mas agora isolando y na equação ( ᴠ ):

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\!-y-5z=-\,6\\\\\sf\iff~~~\!-y=-\,6+5z\\\\\sf\iff~~~y=6-5z\end{array}\\\\$

E com esse valor estipulado para y, vamos substituir na equação ( ɪᴠ ):

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\!-3y-14z=-\,17\\\\\sf\iff~~~\!-3(6-5z)-14z=-\,17\\\\\sf\iff~~~\!-18+15z-14z=-\,17\\\\\sf\iff~~~z=-\,17+18\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf z=1}}\end{array}\\\\$

Por conseguinte, vemos que substituindo o valor de z na equação em que y foi isolado:

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf y=6-5z\\\\\sf\iff~~~y=6-5\cdot1\\\\\sf\iff~~~y=6-5\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf y=1}}\end{array}\\\\$

Dessa maneira, vamos substituir os valores de y e z lá na equação ( ɪɪɪ ) onde x foi isolado:

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x=6-2y-3z\\\\\sf\iff~~~x=6-2\cdot1-3\cdot1\\\\\sf\iff~~~x=6-2-3\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf x=1}}\end{array}\\\\$