Matemática, perguntado por ivanildoleiteba, 6 meses atrás

Resolva os seguintes limites:

$a) \[ \lim_{a\to 0} \dfrac{sen(x)-sen(a)}{x-a} \]$

$b)\[ \lim_{a\to 0} \dfrac{sen(x+a)-sen(x)}{a} \]$

Soluções para a tarefa

Respondido por MuriloAnswersGD

Letra A) Senx/x

Letra B) Cosx

Limites

O que são limites?

Limite Tem como objetivo mostrar comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. No caso desses limite "a" tende a zero, a resolução é bem simples, acompanhe o Cálculo Abaixo:

$\sf a) \[ \lim_{a\to 0} \dfrac{sen(x)-sen(a)}{x-a} \]$

Vamos Substituir as letras "a" por zero e resolver o limite

$\: \: \: \: \: \large \begin{array}{c} \boxed{\begin{array}{} \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x)-sen(a)}{x-a} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x)-sen(0)}{x-0} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x)-0}{x} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x)}{x} \\ \: \end{array}} \end{array}$

➡️ Resposta:

$\Huge \boxed{\boxed{\sf \dfrac{sen(x)}{x} }}$

$~$

$\sf b)\[ \lim_{a\to 0} \dfrac{sen(x+a)-sen(x)}{a} \]$

Novamente Vamos Substituir as letras "a" por zero e resolver o limite:

$\: \: \: \: \: \large \begin{array}{c} \boxed{\begin{array}{} \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x + a)-sen(x)}{a} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x + 0)-sen(x)}{0} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x)-sen(x)}{0} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{0}{0} \\ \: \end{array}} \end{array}$

Limite deu uma Indeterminação Matemática, vamos aplicar umas manipulações Álgebricas derivando o Númerador e o Denominador pela regra de L'hospital. Como temos nosso limite em relação a "a"vamos fazer as Derivadas em relação "a". Veja Abaixo:

Derivada Sen (x+a) = Cos(x+a)

Derivda Sen (x) = 0, pois é termo que tem variável "x"

Derivda de a = 1

$~$

$\sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{sen(x + a)-sen(x)}{a} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{cos(x + a)}{1}$

$~$

Substituimos e Resolvemos:

$\: \: \: \: \: \large \begin{array}{c} \boxed{\begin{array}{} \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{cos(x + a)}{1} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{cos(x + 0)}{1} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: \dfrac{cos(x)}{1} \\ \\ \sf\underset{a\to0}{lim} \: cos(x) \\ \: \end{array}} \end{array}$