Resolva os limites abaixo:
Anexos:

Soluções para a tarefa
Respondido por
1
a)
Iremos utilizar a regra de L'hospital.
Usando a derivação no numerador e no denominador.
Lim x->0 F(x)'/G(x)'
Como sabemos, a derivada de Arctg(x) é:
f(x) = arctgx
f(x)' = 1/(1+x^2)
Mas, pelo fato de x" ser 5x
Teremos que aplicar a regra da cadeia.
f(x) = arctg(5x)
f(x)' = 1/(1+(5x)^2)*(5x)'
f(x)' = 1/(1+25x^2)*5
f(x)' = 5/(1+25x^2)
_______________
Derivando-se o denominador pelo mesmo método teremos:
G(x) = arctg(7x)
G(x)' = 1/(1+(7x)^2)*(7x)'
G(x)' = 1/(1+49x^2)*7
G(x)' = 7/(1+49x^2)
______________
Substituindo as derivadas no limite ficaremos:
Lim x->0 [5/(1+25x^2)÷7/(1+49x^2)]
Substituindo x por zero;
Lim x-> 0 [5/(1+0)÷7/(1+0)]
Lim x-> 0 5/7
= 5/7
--------------------------
B)

Usando a regra de L'hospital ficaremos:

e

Então,

Iremos utilizar a regra de L'hospital.
Usando a derivação no numerador e no denominador.
Lim x->0 F(x)'/G(x)'
Como sabemos, a derivada de Arctg(x) é:
f(x) = arctgx
f(x)' = 1/(1+x^2)
Mas, pelo fato de x" ser 5x
Teremos que aplicar a regra da cadeia.
f(x) = arctg(5x)
f(x)' = 1/(1+(5x)^2)*(5x)'
f(x)' = 1/(1+25x^2)*5
f(x)' = 5/(1+25x^2)
_______________
Derivando-se o denominador pelo mesmo método teremos:
G(x) = arctg(7x)
G(x)' = 1/(1+(7x)^2)*(7x)'
G(x)' = 1/(1+49x^2)*7
G(x)' = 7/(1+49x^2)
______________
Substituindo as derivadas no limite ficaremos:
Lim x->0 [5/(1+25x^2)÷7/(1+49x^2)]
Substituindo x por zero;
Lim x-> 0 [5/(1+0)÷7/(1+0)]
Lim x-> 0 5/7
= 5/7
--------------------------
B)
Usando a regra de L'hospital ficaremos:
e
Então,
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