Question

Resolva os limites abaixo:

Answer 1

a)

Iremos utilizar a regra de L'hospital.

Usando a derivação no numerador e no denominador.

Lim x->0 F(x)'/G(x)'

Como sabemos, a derivada de Arctg(x) é:

f(x) = arctgx

f(x)' = 1/(1+x^2)

Mas, pelo fato de x" ser 5x

Teremos que aplicar a regra da cadeia.

f(x) = arctg(5x)

f(x)' = 1/(1+(5x)^2)*(5x)'

f(x)' = 1/(1+25x^2)*5

f(x)' = 5/(1+25x^2)
_______________

Derivando-se o denominador pelo mesmo método teremos:

G(x) = arctg(7x)

G(x)' = 1/(1+(7x)^2)*(7x)'

G(x)' = 1/(1+49x^2)*7

G(x)' = 7/(1+49x^2)
______________

Substituindo as derivadas no limite ficaremos:

Lim x->0 [5/(1+25x^2)÷7/(1+49x^2)]

Substituindo x por zero;

Lim x-> 0 [5/(1+0)÷7/(1+0)]

Lim x-> 0 5/7

= 5/7
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B)


$\lim_{x \to 0} \frac{e^5^x-1}{3x}$

Usando a regra de L'hospital ficaremos:


$\\ F(x) = e^5^x-1 \\ \\ F(x)' = \frac{d(e^5^x-1)}{dx} \\ \\ F(x)' = 5e^5^x$

e 

$\\ G(x) = 3x \\ \\ G(x)' = \frac{d(3x)}{dx} \\ \\ G(x)' = 3$

Então,


$\\ \lim_{x \to 0} \frac{e^5^x-1}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x)'}{G(x)'} \\ \\ = \lim_{x \to 0} \frac{5e^5^x}{3} \\ \\ = \lim_{x \to 0} \frac{5e^0}{3} \\ \\ = \lim_{x \to 0} \frac{5}{3} = 5/3$