Question

Resolva os limites:

a.
$\lim_{x\rightarrow - 3} \: \frac{-5}{(x + 3)^{2} }$


b.
$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \: cos(x)$


c.
$\lim_{x\rightarrow - 2} \: \: h(x)$
(obs: h(x) está em anexo).
​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~-\infty~|~b)~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~|~c)~-10}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades de limites. Discutiremos cada uma delas separadamente.

a)  $\underset{x\rightarrow~-3}{\lim}~\dfrac{-5}{(x+3)^2}$

Na resolução deste limite, observe o gráfico:

Sabemos que o limite de uma função tendendo a seu ponto de assíntota é igual a $\pm~\infty$. Neste caso, como a função é decrescente em todo o intervalo que compreende, seu limite será:

$\underset{x\rightarrow~-3}{\lim}~\dfrac{-5}{(x+3)^2}=-\infty$.

Outra forma de resolver esta questão seria utilizando a propriedade: $\underset{x\rightarrow~a}{\lim}~c\cdot f(x)=c\cdot \underset{x\rightarrow~a}{\lim}~ f(x)$, então teríamos:

$-5\cdot \underset{x\rightarrow~-3}{\lim}~\dfrac{1}{(x+3)^2}$

Então, veja que a função não é contínua em $-3$, dada a assíntota vertical neste ponto.

b) $\underset{x\rightarrow~\frac{\pi}{4}}{\lim}~\cos(x)$

Observe o gráfico da função cosseno: Ela é contínua em $\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$, tal que $k\in\mathbb{Z}$. Neste caso, aplicamos a regra $\underset{x\rightarrow~a}{\lim}~f(x)=f(a)$.

$\underset{x\rightarrow~\frac{\pi}{4}}{\lim}~\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

Conhecemos o valor deste cosseno, pois $\dfrac{\pi}{4}~rad=45\°$, então

$\underset{x\rightarrow~\frac{\pi}{4}}{\lim}~\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\underset{x\rightarrow~-2}{\lim}~h(x)$, tal que $h(x)=\begin{cases}5x,~para~x<-2\\\\x^3-2,~para~x\geq-2\\\end{cases}$

Neste caso, devemos conhecer como encontrar o limite de uma função definida por partes. Sabemos que não nos interessa saber qual o valor do limite no ponto, e sim nas suas proximidades.

Lembre-se que no estudo de limites laterais, temos os casos:

• $\underset{x\rightarrow~-2^+}{\lim}~h(x)$, seria o limite da função $h(x)$ para valores se aproximando de $-2$ pela direita, ou seja, valores maiores que $-2$.

Nos foi definido que $h(x)$ se comporta como a função $x^3-2$ para estes valores. Então, ela é contínua para valores neste intervalo.

Aplicando a regra discutida acima sobre limite de funções contínuas, temos:

$\underset{x\rightarrow~-2^+}{\lim}~x^3-2=(-2)^3-2$

Calcule a potência e some os valores

$\underset{x\rightarrow~-2^+}{\lim}~x^3-2=-10$

• $\underset{x\rightarrow~-2^-}{\lim} h(x)$, seria o limite da função da função $h(x)$ se aproximando de $-2$ pela esquerda, ou seja, valores menores que $-2$.

Nos foi definido que $h(x)$ se comporta como a função $5x$ para estes valores. Então, ela é contínua para valores neste intervalo.

Da mesma forma:

$\underset{x\rightarrow~-2^-}{\lim} 5x$

Aplicando a regra

$\underset{x\rightarrow~-2^-}{\lim} 5x=5\cdot (-2)$

Multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow~-2^-}{\lim} 5x=-10$

Como podemos ver, os limites laterais são iguais, logo nossa resposta final será:

$\underset{x\rightarrow~-2}{\lim}~h(x)=-10~~\checkmark$