Question

Resolva o sistema z1+z2+z3=5+6i 3z-z2-z3=3+30i -z1-z2+z3=5+2i

Answer 1

$\ z_{1} + z_{2} + z_{3} =5 + 6i \\ \ 3z_{1} - z_{2} - z_{3} =3 + 30i \\ -z_{1} - z_{2} + z_{3} =5 + 2i \\ \\ (a+bi)+(c+di)+(e+fi)=5 + 6i \\ 3(a+bi)-(c+di)-(e+fi)=3 + 30i \\ -(a+bi)-(c+di)+(e+fi)=5 + 2i \\ \\ (a+c+e) + (b+d+f)i = 5 + 6i \\ (3a-c-e) + (3b-d-f)i = 3 + 30i \\ (-a-c+e) + (-b-d+f)i = 5 + 2i$

Igualando as partes reais e imaginárias, ficamos com:

$(a+c+e) = 5 \ (i) \\ (b+d+f) = 6 \ (ii) \\ (3a-c-e) = 3 \ (iii) \\ (3b-d-f) = 30 \ (iv) \\ (-a-c+e) = 5 \ (v) \\ (-b-d+f) = 2 \ (vi)$

Fazendo (ii) + (v), ficamos com:

$4b = 36 \ => \ b = 9$

Fazendo (i) + (v), ficamos com:

$2e = 10 \ => \ e = 5$

Substituindo o valor de e em (iii) e (i), ficamos com:

$-3a-c = 8$
$a+c = 0$

Somando as duas, chegamos que:

$a = -4 \ e \ c = 4$