Question

Resolva o sistema usando logaritmo.

Answer 1

Olá,

no sistema de equações logarítmicas$\begin{cases}\mathsf{y-\log_2(x)=2~~(i)}\\ \mathsf{x^y=8~~(ii)}\end{cases}$

devemos ter x>0 e x≠1 para a base, e x>0 para o logaritmando. Resolvamos então o sistema, expressando a equação ii, que é uma equação exponencial, em forma de logaritmo, o sistema então ficará assim:

$\begin{cases}\mathsf{y-\log_2(x)=2~~(i)}\\\mathsf{y=\log_x(8)~~(ii)}\end{cases}$

Agora, substitua y, da equação ii, na equação i:

$\mathsf{\underbrace{[\log_x(8)]}-\log_2(x)=2}\\ ~~~~~~\mathsf{y}$


Podemos então aplicar a P.M.B. (propriedade de mudança de base de log), passando todos os logaritmos dados para uma base conveniente, no caso, base (2), e desenvolvermos a expressão algébrica:

$\mathsf{ \dfrac{\log_2(8)}{\log_2(x)}-\log_2(x)=2 }\\\\\\ \mathsf{ \dfrac{3}{\log_2(x)}-\log_2(x)=2 }$

Vamos agora usar uma variável auxiliar, fazemos $\mathsf{\log_2(x)=n}$

$\mathsf{ \dfrac{3}{n}-n=2 }\\\\ \mathsf{3-n\cdot n=2\cdot n}\\ \mathsf{n^2+2n-3=0}\\\\ \mathsf{n_1=1~~e~~n_2=-3}\\\\ \mathsf{\log_2(x)=n}\\\\ \mathsf{\log_2(x)=1}~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\log_2(x)=-3}\\\\ \mathsf{x=2^1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{x=2^{-3}}\\\\ \mathsf{x_1=2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{x_2= \dfrac{1}{8} } }$

Achado x, vamos encontrar y:

$\mathsf{y=\log_x(8)}\\\\\ \mathsf{y=\log_2(8)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{y=\log_{ \tfrac{1}{8}} (8) }}\\\\ \mathsf{2^y=8}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\left( \dfrac{1}{8} \right)^y=8}\\ \mathsf{\not2^y=\not2^3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{(8^{-1})^y=8^1}\\\\ \mathsf{y_1=3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\not8^{-y}=\not8^1}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{-y=1}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{y_2=-1}$

Como nenhuma das raízes infringem à condição de existência, então:

$\Large\boxed{\mathsf{S=\left\{(2,3);\left(\dfrac{1}{8},-1\right)\right\}}}$

Tenha ótimos estudos ;P