Question

Resolva o sistema log2 x + log2 y= 4 e xy= 8

Answer 1

log(2) x + log(4) y = 4 
Aplicando mudança de base 
log(2) x + log(2) x/log(2) 4 = 4 
log(2) x + log(2) y/2 = 4 
2log(2) x + log(2) y = 8 
log(2) x² + log(2) y = 8 
Aplicando a propriedade da soma: 
log(2) x²y = 8 
Pela definição de logaritmo: 
x²y =256 
como xy = 8 
x(xy) = 256 
8x = 256 
x = 32 
y = 1/4 

Answer 2

A solução do sistema é:

x = 32 / y = 1/4

Na verdade, o sistema é assim:

{ log₂x + log₄y = 4

{ xy = 8

Temos que fazer uma mudança de base.

Isso pode ser feito assim:

logx + logy = 4

log2   2log2

2logx + logy = 4

2log2   2log2

2logx + logy = 8log2

logx² + logy = log2⁸

log(x²y) = log2⁸

Como temos logaritmos de mesma base dos dois lados da equação, podemos igualar os logaritmandos.

x²y = 2⁸

Assim, temos:

{ x²y = 2⁸

{ xy = 8  ⇒ y = 8/x

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

x²·(8/x) = 2⁸

8x² = 2⁸

x

8x = 2⁸

x = 2⁸

     8

x = 2⁸

     2³

x = 2⁵

x = 32

Agora, o valor de y.

y = 8

      x

y = 8

     32

y = 1

     4

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