Question

Resolva o sistema:

Log de X com base 2 + log de Y com base 4= 4
X.Y=4

Answer 1

Boa Madrugada,

no sistema de equações logarítmicas $\begin{cases}\mathsf{log_2(x)+log_4(y)=4~~(i)}\\ \mathsf{x\cdot y=4~~(ii)}\end{cases}$,

primeiramente devemos impor a condição para que os logs acima, existam:

$\mathsf{C.E.}\begin{cases}\mathsf{x~e~y,~(no~logaritmando)}\\\mathsf{x~e~y\ \textgreater \ 0}\end{cases}$

Imposta a condição, vamos então isolar x na equação ii, e substituir ele na equação i, veja:

$\mathsf{x= \dfrac{4}{y} ~~(ii)}\\\\ \mathsf{log_2\left( \dfrac{4}{y}\right)+log_4(y)=4~~(ii~em~i) }$

Observe que os logaritmos acima estão em bases diferentes, efetuaremos a P.M.B. (propriedade de mudança de base)

$\mathsf{log_b(a)~para~uma~certa~base~n\Rightarrow \dfrac{log_n(a)}{log_n(b)} }$

passemos a segunda parcela da equação para a menor base, base 2, a equação ficará assim:

$\mathsf{log_2\left( \dfrac{4}{y}\right)+ \dfrac{log_2(y)}{log_2(4)}=4 }$

Agora, usaremos a definição na segunda parcela, e a propriedade do quociente na primeira:

Definição:

$\mathsf{log_b(c)=a~~\Rightarrow ~~c=b^a}\\\\ \mathsf{No~caso,~log_2(4)=\overbrace{2}}$

Propriedade do Quociente:

$\mathsf{log_b\left( \dfrac{a}{c}\right)=log_b(a)-log_b(c) }$

.........................

$\mathsf{[log_2(4)-log_2(y)]+ \dfrac{log_2(y)}{2}=4 }\\\\ \mathsf{[2-log_2(y)]+ \dfrac{log_2(y)}{2}=4 }\\\\ \mathsf{2\cdot[2-log_2(y)]+log_2(y)=4\cdot2}\\ \mathsf{4-2log_2(y)+log_2(y)=8}\\ \mathsf{-2log_2(y)+log_2(y)=8-4}\\ \mathsf{-log_2(y)=4~~(Multiplique~por-1)}\\ \mathsf{log_2(y)=-4}\\\\ \mathsf{y=2^{-4}}\\\\ \mathsf{y= \dfrac{1}{2^4} }\\\\ \mathsf{y= \dfrac{1}{16} }$

Como já encontramos y, vamos em busca de x por uma das equações, usaremos a equação ii:

$\mathsf{x= \dfrac{4}{y} }\\\\ \mathsf{x= 4\div \dfrac{1}{16} }\\\\ \mathsf{x=4\cdot \dfrac{16}{1} }\\\\ \mathsf{x=64}$

Pronto, basta escrevermos a solução (x,y), do sistema acima:

$\mathsf{S=\left\{\left(64, \dfrac{1}{16}\right)\right\} }$

Tenha ótimos estudos ;P