Question

Resolva o sistema de equações lineares por escalonamento: 
URGENTE!!!!!!!!

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvemos esta questão, utilizaremos o método do escalonamento conhecido como Eliminação de Gauss-Jordan.

Primeiro, utilizamos a notação de matriz ampliada:

$\left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\2&-3&1&-1\\1&2&-1&2\\\end{array}\right]$

De acordo com o Teorema de Jacobi, um dos axiomas deste método de escalonamento, a soma de uma linha com o produto de outra linha por uma constante não altera o determinante da matriz dos coeficientes, logo devemos realizar este processo até que os elementos abaixo da diagonal principal sejam iguais a zero.

O processo consiste em escolher um elemento da diagonal principal, chamado de elemento pivô e multiplicar sua linha por uma constante, escolhida de modo que ao somarmos com a linha escolhida, o elemento pertencente a sua coluna se torne zero.

Fazemos $a_{11}=3$ como primeiro elemento pivô. Multiplique a primeira linha por $-\dfrac{2}{3}$ e some à segunda linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\2&-3&1&-1\\1&2&-1&2\\\end{array}\right]\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)+L_2\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\\\0&-\dfrac{7}{3}&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{17}{3}\\\\1&2&-1&2\\\end{array}\right]$

Agora, multiplique a primeira linha por $-\dfrac{1}{3}$ e some à terceira linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\\\0&-\dfrac{7}{3}&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{17}{3}\\\\1&2&-1&2\\\end{array}\right]\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)+L_2\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\\\0&-\dfrac{7}{3}&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{17}{3}\\\\0&\dfrac{7}{3}&-\dfrac{5}{3}&-\dfrac{1}{3}\\\end{array}\right]$

Então, fazemos $a_{22}=-\dfrac{7}{3}$ como segundo elemento pivô. Multiplique a segunda linha por $1$ e some à terceira linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\\\0&-\dfrac{7}{3}&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{17}{3}\\\\0&\dfrac{7}{3}&-\dfrac{5}{3}&-\dfrac{1}{3}\\\end{array}\right]\rightarrow L_2+L_3\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\\\0&-\dfrac{7}{3}&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{17}{3}\\\\0&0&-2&-6\\\end{array}\right]$

Dessa forma, temos o sistema escalonado. Facilmente, podemos calcular o valor numérico da incógnita $z$:

$-2z=-6$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-2)$

$z=3$

Na segunda linha, substituímos o valor de $z$ e calculamos o valor de $y$:

$-\dfrac{7}{3}\cdot y-\dfrac{1}{3}\cdot 3=-\dfrac{17}{3}$

Multiplique os termos

$-\dfrac{7}{3}\cdot y-1=-\dfrac{17}{3}$

Some $1$ em ambos os lados da igualdade

$-\dfrac{7}{3}\cdot y=-\dfrac{14}{3}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $-\dfrac{7}{3}$

$y=2$

Por fim, substituímos estes valores na primeira linha para calcularmos o valor de $x$:

$3\cdot x -2+2\cdot 3=7$

Multiplique e some os valores

$3x +4=7$

Subtraia $4$ em ambos os lados da igualdade

$3x=3$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $3$

$x=1$

Portanto, o conjunto solução deste sistema de equações lineares é:

$\Large{\boxed{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=(1,~2,~3)\}}}$