Question

Resolva o sistema de equações (figura em anexo, gabarito no rodapé)

Answer 1

Temos o seguinte:

$\left\{\begin{matrix} 4\alpha_{1} + \alpha_{2} + 0 = 6 \\ 0 - \alpha_{2} + 2\alpha_{3} = -8 \\ -2\alpha_{1} + 2\alpha_{2} + \alpha_{3} = -1 \\ -2\alpha_{1} + 3\alpha_{2} + 4\alpha_{3} = -8 \end{matrix}\right.$

Para resolvermos este sistema de equações, precisamos reduzir as equações, juntando-as. Primeiro trabalharemos com as duas primeiras equações:

$\left \{ {{4\alpha_{1} + \alpha_{2} + 0 =6} \atop {0 - \alpha_{2} + 2\alpha_{3} =-8}} \right. \\ \\ 4\alpha_{1} + \alpha_{2} = 6 \therefore \alpha_{2} = 6 - 4\alpha_{1} \\ -\alpha_{2} +2\alpha_{3} = -8 \therefore \alpha_{2} =8 + 2 \alpha_{3} \\ \\ 6- 4\alpha_{1} = 8+2\alpha_{3} \therefore \boxed{4\alpha_{1} +2\alpha_{3} =-2 }$

Guardaremos essa equação, agora trabalharemos com as outras duas equações:

$\left \{ {{-2\alpha_{1} + 2\alpha_{2} + \alpha_{3} =-1} \atop {-2\alpha_{1} +3\alpha_{2} +4\alpha_{3} =-8}} \right.$

Multiplicaremos a primeira equação por $\frac{3}{2}$, para eliminarmos a variável $\alpha_{2}$, como fizemos nas duas primeiras equações:

$\left \{ {{-2\alpha_{1} + 2\alpha_{2} + \alpha_{3} =-1} \atop {-2\alpha_{1} +3\alpha_{2} +4\alpha_{3} =-8}} \right. \cdots \left \{ {{-3\alpha_{1} + 3\alpha_{2} + \frac{3}{2}\alpha_{3} = -\frac{3}{2}} \atop {-2\alpha_{1} +3\alpha_{2} +4\alpha_{3} =-8}} \right.$

Agora podemos somar as equações, e eliminar $\alpha_{2}$:

$\left \{ {{-3\alpha_{1} + 3\alpha_{2} + \frac{3}{2}\alpha_{3} = -\frac{3}{2}} \atop {-2\alpha_{1} +3\alpha_{2} +4\alpha_{3} =-8}} \right. \\ \vdots \\ \alpha_{1} + \frac{5}{2}\alpha_{3} = -\frac{13}{2} \\ \\ \boxed{2\alpha_{1} + 5\alpha_{3} = -13}$

Agora podemos resolver um sistema com as equações que encontramos:

$\left \{ {{4\alpha_{1} +2\alpha_{3} =-2} \atop {2\alpha_{1} + 5\alpha_{3} = -13}} \right.$

Multiplicando a segunda equação por $2$:

$\left \{ {{4\alpha_{1} +2\alpha_{3} =-2} \atop {4\alpha_{1} + 10\alpha_{3} = -26}} \right.$

Subtraindo as equações, encontramos a variável $\alpha_{3}$:

$(4-4)\alpha_{1} + (10-2)\alpha_{3} = -26+2 \\ \\ 8\alpha_{3} = -24 \\ \\ \boxed{a_{3} = -3}$

Encontrando a variável $\alpha_{1}$, escolhemos uma das equações anteriores:

$4\alpha_{1} + 10\alpha_{3} = -26 \\ \\ 4\alpha_{1} + 10 \cdot (-3) = -26 \\ \\ 4a_{1} -30 = -26 \\ \\ 4a_{1} = 4 \\ \\ \boxed{a_{1} = 1}$

Logo podemos encontrar a variável $\alpha_{2}$, novamente escolhendo qualquer equação:

$4\alpha_{1} + \alpha_{2} = 6 \\ \\ 4 \cdot 1 + \alpha_{2} = 6 \\ \\ 4 + \alpha_{2} = 6 \\ \\ \boxed{a_{2} = 2}$

Answer 2

Vamos lá: inicialmente temos,

1) 4a1+a2=6
2) -a2+2a3=-8
3) -2a1+2a2+a3=-1
4) -2a1+3a2+4a3=-8

Aqui, podemos somar a 3 equação multiplicada por (-1) com a equação 4:

3) -2a1+2a2+a3=-1 ×(-1)
4) -2a1+3a2+4a3=-8

3) +2a1-2a2-a3=1
4) -2a1+3a2+4a3=-8

a2+3a3=-7

Veja que podemos somar esta última equação, a2+3a3=-7, com a equação 2. Assim,

a2+3a3=-7
-a2+2a3=-8

5a3=-15 --> a3=-3

Sabendo que a3=-3, podemos substituir esse valor na equação 2 e descobrir o a2:

-a2+2×(-3)=-8 --> -a2-6=-8 --> -a2=-2 ×(-1) --> a2=2

Agora, com a2=2 substituímos na equação 1 encontramos o a1:

4a1+2=6 --> 4a1=4 --> a1=1

Por fim, temos S={a1=1, a2=2, a3=-3}

Bons estudos!