Question

Resolva o sistema de congruências sem utilizar o teorema chinês do resto.

$\mathsf{x\equiv2~mod\,11,\quad x\equiv4~mod\,12,\quad x\equiv5~mod\,13}$

$\begin{cases}\mathsf{x\equiv2~mod\,11}\\\mathsf{x\equiv4~mod\,12}\\\mathsf{x\equiv5~mod\,13}\end{cases}$​

Answer 1

Resposta:   x = 1716n + 772,   com n ∈ ℤ

ou em notação de congruência,

     x ≡ 772  (mod 1716).

Explicação passo a passo:

Resolver o sistema linear de congruências:

     $\left\{\begin{array}{lc}x\equiv 2&~~\mathrm{(mod}~11)\\\\ x\equiv 4&~~\mathrm{(mod}~12)\\\\ x\equiv 5&~~\mathrm{(mod}~13)\end{array}\right.$

Aplicando a definição de congruência modular, podemos reescrever o sistema da seguinte forma:

Existem $q_1,\,q_2,\,q_3$ inteiros, tais que

     $\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}x=11q_1+2&\qquad\mathrm{(i)}\\\\ x=12q_2+4&\qquad\mathrm{(ii)}\\\\ x=13q_3+5&\qquad\mathrm{(iii)} \end{array}\right.$

Devemos fazer aparecer o mmc(11, 12, 13) nas três equações. Como são primos entre si temos

     mmc(11, 12, 13) = 11 × 12 × 13 = 1716.

Multiplique ambos os membros da equação (i) por 12 × 13 = 156.

Multiplique ambos os membros da equação (ii) por 11 × 13 = 143.

Multiplique ambos os membros da equação (iii) por 11 × 12 = 132.

Fazendo assim, o sistema fica:

     $\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}156x=156(11q_1+2)\\\\ 143x=143(12q_2+4)\\\\ 132x=132(13q_3+5)\end{array}\right.$

     $\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lc}156x=1716q_1+312&\qquad\mathrm{(iv)}\\\\ 143x=1716q_2+572&\qquad\mathrm{(v)}\\\\ 132x=1716q_3+660&\qquad\mathrm{(vi)} \end{array}\right.$

Agora, some membro a membro as equações (iv), (v) e (vi):

     $\Longrightarrow\quad 156x+143x+132x=1716(q_1+q_2+q_3)+(312+572+660)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x=1716y+1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x-1716y=1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x-1716y=193\cdot 8\qquad\mathrm{(vii)}$

sendo $y=q_1+q_2+q_3.$

A equação (vii) é uma equação diofantina linear a duas variáveis.

Como 431 é primo e 1716 não é múltiplo de 431, então mdc(431, 1716) = 1. Logo a equação (vii) possui solução para x, y inteiros.

Utilizaremos o algoritmo de Euclides para resolvê-la (divisões sucessivas com quociente e resto):

     $1716=431\cdot 3+423\\\\ 431=423+8$

Podemos parar aqui, pois 8 é um divisor de 1544.

Reescrevendo a última igualdade, temos

     $\Longleftrightarrow\quad 8=431-423$

Eliminamos o 423 pela primeira igualdade do algoritmo:

     $\Longleftrightarrow\quad 8=431-(1716-431\cdot 3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8=431-1716+431\cdot 3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8=431\cdot 4-1716\cdot 1$

Multiplique os dois lados da igualdade acima por 193:

     $\Longleftrightarrow\quad 193\cdot 8=193\cdot (431\cdot 4-1716\cdot 1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1544=431\cdot (193\cdot 4)-1716\cdot (193\cdot 1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772)-1716\cdot (193)=1544\qquad\mathrm{(viii)}$

Portanto, o par (x, y) = (772, 193) é uma solução para a equação (vii).

Para encontramos a solução geral, basta somarmos e subtrairmos um múltiplo comum de 431 e 1716. Como ambos são primos entre si, então mmc(431, 1716) = 431 × 1716.

Sendo n um inteiro qualquer, some e subtraia 431 × 1716 × n ao lado esquerdo de (viii):

     $\Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772)+431\cdot 1716n-431\cdot 1716n-1716\cdot (193)=1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772+1716n)-1716\cdot (431n+193)=1544$

A solução geral para a equação (vii) é

     (x, y) = (1716n + 772, 431n + 193)

Logo, a solução para o sistema de congruências é

     x = 1716n + 772,   com n ∈ ℤ

ou em notação de congruência,

     x ≡ 772  (mod 1716).

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Bons estudos!