Question

Resolva o sistema abaixo por determinantes:

2x+3y=13
x+2y=8

Answer 1

Vamos começar montando M, a matriz dos coeficientes do sistema de equações, e calculando seu determinante D:

$\sf M~=~\left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right] \\\\\\D~=~\left|\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right|\\\\\\D~=~~=~2\cdot 2~-~3\cdot 1\\\\\\D~=~4~-~3\\\\\\\boxed{\sf D~=~1}$

Prosseguindo, podemos montar Mx e seu determinante, Dx, substituindo a coluna dos coeficientes da variável x na matriz dos coeficientes pelos termos independentes:

$\sf M_x~=~\left[\begin{array}{ccc}13&3\\8&2\end{array}\right]\\\\\\D_x~=~\left|\begin{array}{ccc}13&3\\8&2\end{array}\right|\\\\\\D_x~=~13\cdot 2~-~3\cdot 8\\\\\\D_x~=~26~-~24\\\\\\\boxed{\sf D_x~=~2}$

A matriz My restante é montada substituindo a coluna dos coeficientes da variável y na matriz dos coeficientes pelos termos independentes. Vamos monta-la e calcular seu determinante:

$\sf M_y~=~\left[\begin{array}{ccc}2&13\\1&8\end{array}\right]\\\\\\D_y~=~\left|\begin{array}{ccc}2&13\\1&8\end{array}\right|\\\\\\D_y~=~2\cdot 8~-~13\cdot 1\\\\\\D_y~=~16~-~13\\\\\\\boxed{\sf D_y~=~3}$

Por fim, utilizando a regra de Cramer, podemos determinar o valor das variáveis "x" e "y" como mostrado abaixo:

$\sf x~=~\dfrac{D_x}{D}\\\\\\x~=~\dfrac{2}{1}\\\\\\\boxed{\sf x~=~2}\\\\\\\sf y~=~\dfrac{D_y}{D}\\\\\\y~=~\dfrac{3}{1}\\\\\\\boxed{\sf y~=~3}$

Resposta:  As incógnitas "x" e "y" valem, respectivamente, 2 e 3

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$