Question

Resolva o sistema abaixo pelo método de cramer ou por escalonamento, classifique-o e de a solução
X+5y+2.z=10
2x+y-3z=-2
3x+7.u+5z=19

Answer 1

Para resolver sistemas lineares, você pode usar a Regra de Crammer. Ela usa determinantes, entretanto, qualquer erro na montagem da matrizes ou nas operações dos determinantes, errará no resultado final.

A Regra do Escalonamento é mais simples, sobretudo para sistemas linares de muitas variáveis.

Vou explicar fazendo.
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3x - y = 1
2x - 4y = 5
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Veja o 3 multiplicando o x da primeira equação e o 2 multiplicando o x da segunda equação. O m.m.c. entre 3 e 2 é 6. Então multiplicamos a primeira equação por 2
6x - 2y = 2
2x - 4y = 5

Agora a segunda equação por -3.
6x - 2y = 2
-6x + 12y = -15

Repare que agora temos 6 e -6. Se somarmos então a primeira equação na segunda eliminamos o x:

6x - 2y = 2
-6x + 12y + (6x - 2y) = -15 + (2)

e chegamos a
6x - 2y = 2
10y = -13

Então da segunda equação
y = -13/10 = -1,3

E substituindo na primeira
6x - 2(-1,3) = 2
6x = 2 - 2,6
x = -0,6/6 = -0,1

Pode parecer longo, mas com o tempo você faz mais direto.
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-4x + 2y = 0
10x - 5y = 7
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Repare que temos -4 e 10 multiplicando o x. E o m.m.c entre os dois é 20.

Multiplicando então a primeira equação por 5
-20x + 10y = 0
10x - 5y = 7

Multiplicando agora a segunda equação por 2
-20x + 10y = 0
20x - 10y = 14

Agora somando a primeira equação na segunda:
-20x + 10y = 0
20x - 10y + (-20x + 10y) = 14 +(0)
0 = 14

Portanto o sistema é de solução impossível.

Na Regra de Crammer isto é visto quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero. E se fizer pela Regra de Crammer verá que dá zero mesmo.
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x + y + 3z = 0
3x - y - 2z = 1
x + 3y + z = -3
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Multiplicando a primeira equação por 3
3x + 3y + 9z = 0
3x - y - 2z = 1
x + 3y + z = -3

Multiplicando a segunda equação por -1
3x + 3y + 9z = 0
-3x + y + 2z = -1
x + 3y + z = -3

somando a primeira equação na segunda equação:
Multiplicando a segunda equação por -1
3x + 3y + 9z = 0
0x + 4y + 11z = -1
x + 3y + z = -3

Perceba que eliminamos o x da segunda equação: 0x = 0

Elimaremos agora o x da terceira equação. Multiplicando a terceira equação por -3:
3x + 3y + 9z = 0
0x + 4y + 11z = -1
-3x - 9y -3z = 9

somando a primeira equação na terceira equação:
3x + 3y + 9z = 0
0x + 4y + 11z = -1
0x - 6y + 6z = 9

Por fim eliminamos o y da terceira equação. Multiplicamos a segunda equação por 3
3x + 3y + 9z = 0
0x + 12y + 33z = -3
0x - 6y + 6z = 9

Multiplicamos a terceira equação por 2
3x + 3y + 9z = 0
0x + 12y + 33z = -3
0x - 12y + 12z = 18

Por fim somamos a segunda equação na terceira
3x + 3y + 9z = 0
0x + 12y + 33z = -3
0x + 0y + 45z = 15

Veja que a terceira equação tem só z. Isolamos e encontramos o z. Então substituimos o valor de z na segunda equação e obtemos o y! Por fim usando y e z substituímos na primeira e encontramos x!

z = 15/45 = 1/3

0x + 12y + 33z = -3
12y + 33(1/3) = -3
12y = -3 - 11
y = - 7/6

3x + 3y + 9z = 0
3x + 3(-7/6) + 9(1/3) = 0
3x -7/2 + 3 = 0
3x -1/2 = 0
x = - 1/6

Então
x = - 1/6
y = -7/6
z = 1/3
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x + 4y - z = 3
x + y + 2z = 3
x - y + 4z = 1
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Multiplicando a segunda equação por -1
x + 4y - z = 3
-x - y - 2z = -3
x - y + 4z = 1

Somando a primeira equação na segunda
x + 4y - z = 3
0x +3y - 3z = 0
x - y + 4z = 1

Multiplicando a terceira equação por -1
x + 4y - z = 3
0x +3y - 3z = 0
-x + y - 4z = -1

Somando a primeira equação na terceira
x + 4y - z = 3
0x +3y - 3z = 0
0x + 5y - 5z = 2

Multiplicando a segunda equação por 5
x + 4y - z = 3
0x +15y - 15z = 0
0x + 5y - 5z = 2

Multiplicando a terceira equação por -3
x + 4y - z = 3
0x +15y - 15z = 0
0x -15y + 15z = 2

Somando a segunda equação na terceira
x + 4y - z = 3
0x +15y - 15z = 0
0x + 0y + 0 z = 2

Repare que na terceira linha ficou
0x + 0y + 0 z = 2
ou
0 = 2 o que é falso.

Assim o sistema é impossível.

Na Regra de Crammer isto é visto quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero. E se fizer pela Regra de Crammer verá que d

Espero ter ajudado!!