Question

Resolva o seguinte sistema de três equações pela regra de Cramer,mostrando o Passo a passo por favor!!!

$\large\begin{cases}\sf x+2y+z=8\\ \sf 2x-y+z=3\\ \sf 3x+y-z=2\end{cases}$​

Answer 1

Resposta: conjunto solução deste sistema: S = {(1 , 2 ,3)}.

Pela regra de Cramer, observe que $x=\frac{det_x}{det_s}$, $y=\frac{det_y}{det_s}$ e $z=\frac{det_x}{det_s}$, onde detₛ: determinante do sistema (formado pelos coeficientes das incógnitas); detₓ: determinante detₛ com a primeira coluna comutada pelos termos independentes; det$\sf_y$: determinante detₛ com a segunda coluna comutada pelos termos independentes det$\sf_z$: determinante detₛ com a terceira coluna comutada pelos termos independentes.

Ou seja (lembrando que nesse sistema os termos independentes são 8, 3 e 2):

$det_s=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&\!\!\!-1&1\\3&1&\!\!\!-1\end{vmatrix},\ det_x=\begin{vmatrix}8&2&1\\3&\!\!\!-1&1\\2&1&\!\!\!-1\end{vmatrix},\ det_y=\begin{vmatrix}1&8&1\\2&3&1\\3&2&\!\!\!-1\end{vmatrix}\ e\ det_z=\begin{vmatrix}1&2&8\\2&\!\!\!-1&3\\3&1&2\end{vmatrix}$

Para resolver cada um desses determinantes aplique a regra de Sarrus, reincidindo as duas primeiras colunas em seu lado, e então multiplique os elementos das diagonais primárias, subtraia e multiplique os elementos das diagonais secundárias (sempre que multiplicar uma diagonal deve-se adicionar para multiplicar a próxima).

$\begin{array}{l}det_s=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&\!\!\!-1&1\\3&1&\!\!\!-1\end{vmatrix}\begin{matrix}1&2\\2&\!\!\!-1\\3&1\end{matrix}\\\\det_s=1.(-1).(-1)+2.1.3+1.2.1-[2.2.(-1)+1.1.1+1.(-1).3]\\\\det_s=1+6+2-(-4+1-3)\\\\det_s=9-(-6)\\\\det_s=9+6\\\\det_s=15\end{array}$

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$\begin{array}{l}det_x=\begin{vmatrix}8&2&1\\3&\!\!\!-1&1\\2&1&\!\!\!-1\end{vmatrix}\begin{matrix}8&2\\3&\!\!\!-1\\2&1\end{matrix}\\\\det_x=8.(-1).(-1)+2.1.2+1.3.1-[2.3.(-1)+8.1.1+1.(-1).2]\\\\det_x=8+4+3-(-6+8-2)\\\\det_x=15-(0)\\\\det_x=15\end{array}$

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$\begin{array}{l}det_y=\begin{vmatrix}1&8&1\\2&3&1\\3&2&\!\!\!-1\end{vmatrix}\begin{matrix}1&8\\2&3\\3&2\end{matrix}\\\\det_y=1.3.(-1)+8.1.3+1.2.2-[8.2.(-1)+1.1.2+1.3.3]\\\\det_y=-3+24+4-(-16+2+9)\\\\det_y=25-(-5)\\\\det_y=25+5\\\\det_y=30\end{array}$

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$\begin{array}{l}det_z=\begin{vmatrix}1&2&8\\2&\!\!\!-1&3\\3&1&2\end{vmatrix}\begin{matrix}1&2\\2&\!\!\!-1\\3&1\end{matrix}\\\\det_z=1.(-1).2+2.3.3+8.2.1-[2.2.2+1.3.1+8.(-1).3]\\\\det_z=-2+18+16-(8+3-24)\\\\det_z=32-(-13)\\\\det_z=32+13\\\\det_z=45\end{array}$

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Agora retome às equações iniciais para obter o valor de cada variável:

$\begin{array}{l}\begin{cases}x=\dfrac{det_x}{det_s}\\\\y=\dfrac{det_y}{det_s}\\\\z=\dfrac{det_z}{det_s}\end{cases}\Rightarrow~\begin{cases}x=\dfrac{15}{15}\\\\y=\dfrac{30}{15}\\\\z=\dfrac{45}{15}\end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases}x=1\\\\y=2\\\\z=3\end{cases}\end{array}$

Resolvido. Conjunto solução: S = {(1 , 2 , 3)} (trio ordenado).

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.