Question

Resolva o seguinte sistema de equação:

3x + 2y = 1
3x² + 2y² = 5

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8105626

_______________


Resolver o sistema de equações:

$\left\{\! \begin{array}{lclcrc} \mathsf{3x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2y}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\quad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{3x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2y^2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{5}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Multiplicando por 2 os dois a equação $\mathsf{(ii)}:$

$\left\{\! \begin{array}{lclcr} \mathsf{3x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2y}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{6x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{4y^2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{10} \end{array} \right.\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{lcccrc} \mathsf{3x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\!\!2y}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\quad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{6x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{(2y)^2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{10}&\quad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


Isolando $\mathsf{2y}$ na equação $\mathsf{(i)}$ e substituindo na equação $\mathsf{(iii)}:$

$\mathsf{2y=1-3x\qquad\quad(iv)}\\\\\\ \mathsf{6x^2+(1-3x)^2=10}\\\\ \mathsf{6x^2+(1-6x+9x^2)=10}\\\\ \mathsf{9x^2+6x^2-6x+1-10=0}$

$\mathsf{15x^2-6x-9=0}\\\\ \mathsf{3\cdot (5x^2-2x-3)=0}\\\\ \mathsf{5x^2-2x-3=0}\quad\rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=5}\\\mathsf{b=-2}\\\mathsf{c=-3} \end{array} \right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-2)^2-4\cdot 5\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Delta=4+60}\\\\ \mathsf{\Delta=64}\\\\ \mathsf{\Delta=8^2}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{8^2}}{2\cdot 5}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{2\pm 8}{2\cdot 5}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (1\pm 4)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 5}}$

$\mathsf{x=\dfrac{1\pm 4}{5}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{1-4}{5}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{1+4}{5}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-3}{5}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{5}{5}}\\\\ \mathsf{x=-\,\dfrac{3}{5}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=1}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


•   Para $\mathsf{x=-\,\dfrac{3}{5},}$ obtemos

$\mathsf{2y=1-3\cdot \bigg(\!\!-\dfrac{3}{5}\bigg)}\\\\\\ \mathsf{2y=1+\dfrac{9}{5}}\\\\\\ \mathsf{2y=\dfrac{5}{5}+\dfrac{9}{5}}\\\\\\ \mathsf{2y=\dfrac{14}{5}}$

$\mathsf{y=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{14}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 7}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{7}{5}}\qquad\quad\checkmark$


Uma solução é o par $\mathsf{\bigg(\!\!\!-\dfrac{3}{5},\,\dfrac{7}{5}\bigg).}$


•   Para $\mathsf{x=1,}$ obtemos

$\mathsf{2y=1-3\cdot 1}\\\\ \mathsf{2y=1-3}\\\\ \mathsf{2y=-2}\\\\ \mathsf{y=-\,\dfrac{2}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=-1}\qquad\quad\checkmark$


Outra solução é o par $\mathsf{(1,\,-1)}.$


Conjunto solução do sistema:   $\mathsf{S=\left\{\bigg(\!\!\!-\dfrac{3}{5},\,\dfrac{7}{5}\bigg),\,(1,\,-1)\right\}}.$


Bons estudos! :-)


Tags:   sistema de equações segundo grau não linear substituição solução resolver álgebra