Question

Resolva o seguinte problema que é interessante é de números complexos
$\tt sim: \rm{ \cfrac{(1 + cos \theta + i sen \theta) {}^{2} }{cos \theta + i sen \theta} = A + Bcos( \theta)} \\ \\ \tt Calcular \: A + B$
As opções são:

A) 4
B) 2
C) 0
D) 3
E) 1/2
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Answer 1

✅ Após calcularmos o valor de A e B, temos que a soma deles é igual a 4. ( Alternativa a ).

❏ Primeiramente, devemos simplificar a expressão dada, para isso, vale ressaltar a incrível identidade de Euler, a mesma diz que $\displaystyle\begin{gathered} e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin\theta \end{gathered}$.

❏ A demostração dessa identidade estará em anexo. ( continuando ). ... Sabendo disso, vamos simplificar aquela expressão, ficando então:

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{(1 + cos \theta + i sen \theta)^{2} }{cos \theta + i sen \theta} = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered} }$

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{(1 + e^{i\theta} )^{2} }{e^{i\theta} } = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered} }$

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{1+2e^{i\theta} + \left(e^{i\theta}\right)^2}{e^{i\theta} } = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered} }$

❏ Agora perceba que podemos colocar em evidência o e^{i theta}, pois o mesmo está multiplicando todos ali.

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\!\diagup\!\!\!\!e^{i\theta} \cdot \left( \frac{1}{e^{i\theta} } + 2 + e^{i\theta}\right) }{\!\diagup\!\!\!\!e^{i\theta} } = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered} }$

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{1}{e^{i\theta} } + 2 + e^{i\theta} = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered} }$

$\large \displaystyle\begin{gathered}e^{-i\theta} + 2 + e^{i\theta} = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered}$

❏ Passando para a forma trigonométrica, temos que:

$\large \displaystyle\begin{gathered} \cos(\theta) - \!\diagup\!\!\!\!i\sin(\theta) + 2 + \cos(\theta) + \!\diagup\!\!\!\!i \sin(\theta ) = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered}$

$\large \displaystyle\begin{gathered} 2 + 2\cdot \cos(\theta) = A+B\cdot cos(\theta)\end{gathered}$

❏ Dada a igualdade, vejo que A e B são iguais a 2, logo, a soma dos dois será:

$\large \displaystyle\begin{gathered} A + B = 2 + 2\end{gathered}$

$\large \displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{A + B = 4}}}\ \checkmark\end{gathered} }$

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