Question

Resolva o seguinte problema de valor inicial:
$senx\frac{dy}{dx} + ycosx = xsenx, y\frac{\pi}{2} = 2$

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos resolver o seguinte problema de valor inicial:

$\mathsf{\sin(x)\dfrac{dy}{dx}+y\cos(x)=x\sin(x),~y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2}$

Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por $\mathsf{\sin(x)}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}+y\cdot\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=x}$

Esta é uma equação de Bernoulli: ela assume a forma $\mathsf{y'+P(x)y=Q(x)y^n}$. Veja que neste caso, $\mathsf{P(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)},~Q(x)=x}$ e $\mathsf{n=0}$.

Em sendo $n=0$, a solução geral da equação de Bernoulli é dada por: $\mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot I.\,F\,dx}}{I.\,F}}$, em que $\mathsf{I.\,F}$ é o fator integrante, dado pela fórmula $\mathsf{I;\,F=e^{\int P(x)\,dx}}$.

Calculando o fator integrante, teremos:

$\mathsf{I.\,F=e^{\int{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}\,dx}}$

Para calcular esta integral, faça uma substituição $\mathsf{u=\sin(x)}$. Diferenciamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $\mathsf{du}$:

$\mathsf{u'=(\sin(x))'}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{du}{dx}=\cos(x)\Rightarrow du=\cos(x)\,dx}$

Assim, teremos:

$\mathsf{I.\,F=e^{\int{\frac{du}{u}}}}$

Esta é uma integral imediata: $\mathsf{\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C}}$

$\mathsf{I.\,F=e^{\ln|u|+C_1}}$

Aplique as propriedades de potenciação e logaritmos: $\mathsf{e^{\ln(x)+C_1}=e^{\ln(x)}\cdot e^{C_1}}$$\mathsf{e^{\ln(x)}=x}$. Considere $\mathsf{e^{C_1}=C_2}$.

$\mathsf{I.\,F=e^{\ln|u|}\cdot e^{C_1}}\\\\\\ \mathsf{I.\,F=C_2\cdot u}$

Desfaça a substituição $\mathsf{u=\sin(x)}$

$\mathsf{I.\,F=C_2\sin(x)}$

Substitua este resultado e o polinômio $\mathsf{Q(x)}$ na fórmula da solução geral.

$\mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot C_2\sin(x)\,dx}}{C_2\sin(x)}}$

Aplique a propriedade da constante: $\mathsf{\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}}$ e simplifique a fração

$\mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{C_2\cdot\int x\cdotsin(x)\,dx}}{C_2\sin(x)}}\\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot\sin(x)\,dx}}{\sin(x)}}$

Para calcular esta integral, utilizamos a Tabela D. I. Acompanhe a resolução em anexo.

Assim, teremos:

$\mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{-x\cdot\cos(x)+\sin(x)+C}}{\sin(x)}}$

Separe a fração como uma soma de frações e considere $\mathsf{\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=\cot(x)}$ e $\mathsf{\dfrac{1}{\sin(x)}=\csc(x)}$.

$\mathsf{y=\dfrac{-x\cdot\cos(x)}{\sin(x)}+\dfrac{\sin(x)}{\sin(x)}+\dfrac{C}{\sin(x)}}\\\\\\ \mathsf{y=-x\cdot\cot(x)+1+C\cdot\csc(x)}$

Então, utilizamos o valor cedido pelo enunciado para encontrarmos o valor da constante $\mathsf{C}$:

$\mathsf{2=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1+C\cdot\csc\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$

Sabendo que $\mathsf{\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}$ e $\mathsf{\csc\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1}$, temos

$\mathsf{2=-\dfrac{\pi}{2}\cdot0+1+C\cdot1}$

Multiplique os valores

$\mathsf{2=C+1}$

Subtraia $\mathsf{1}$ em ambos os lados da equação

$\mathsf{C=1}$

Dessa forma, a solução geral deste problema de valor inicial é:

$\Large\boxed{\mathsf{y=-x\cot(x)+\csc(x)+1}}$