Question

Resolva o seguinte problema de valor inicial dy/dx = 1/2√x, condição inicial y(4) = 0

Answer 1

Resolvendo o problema de valor inicial, dado que y(4) = 0, encontra-se y = x√x/3 - 8/3.

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anaclararose222, você deve encontrar a solução geral da equação diferencial proposta e, em seguida, encontrar sua solução particular com base na condição inicial imposta.

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Para encontrar a função que é sol. geral da eq. dif. dada, basta separar as variáveis e integrar ambos os membros:

$\sf\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$

$\sf dy=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\,dx$

$\sf \displaystyle\int\sf dy=\displaystyle\int\sf\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\,dx$

$\sf y+c_1=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sf x^{^1/_2}\,dx$

$\sf y+c_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^{^1/_2\,+\,1}}{\frac{1}{2}+1}+c_2$

$\sf y=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^1\cdot x^{^1/_2}}{\frac{3}{2}}+c_1-c_2,~c_1-c_2=C$

$\sf y=\dfrac{x\sqrt{x}}{2\cdot\frac{3}{2}}+C$

$\sf\boxed{\sf y=\dfrac{x\sqrt{x}}{3}+C~~;~~C\in\mathbb{R}}~~~\longleftarrow~~~sol.~geral.$

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Dado que y(4) = 0, substitua as coordenadas do ponto (4, 0) na função anteriormente encontrada, de modo a obter a constante “C”:

$\sf 0=\dfrac{4\sqrt{4}}{3}+C$

$\sf 0=\dfrac{4\cdot2}{3}+C$

$\sf 0=\dfrac{8}{3}+C$

$\sf C=-\,\dfrac{8}{3}$

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Assim,

$\sf\boxed{\sf y=\dfrac{x\sqrt{x}}{3}-\dfrac{8}{3}}~~~\longleftarrow~~~sol.~particular.$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.