Question

Resolva o PVI:
{ y''+10y'+25y=0
y (0)=2
y'(0)= -3

Answer 1

Resposta:

y = 2e^(-5x) + 7x . e^(-5x)

Explicação passo-a-passo:

Temos uma equação diferencial ordinária, linear, homogênea a coeficientea constantes e de ordem 2.

y'' + 10y' + 25y = 0

Resolvendo a equação caracteristica:

r² + 10r + 25 = 0

⇒ r² + 5r + 5r + 25 = 0

⇒ r(r + 5) + 5(r + 5) = 0

⇒ (r + 5)(r + 5) = 0

⇒ (r + 5)² = 0

r = - 5 é raiz dupla.

Logo, a forma da solução da equação homogênea é

y = Ae^(rx) + B xe^(rx)

sendo A e B constantes a determinar.

y = Ae^(-5x) + B xe^(-5x)

Substituindo as condições do PVI:

y(0) = 2

⇒ Ae^(-5 . 0) + B . 0 . e^(-5 . 0) = 2

⇒ A . 1 + B . 0 = 2

⇒ A = 2

Então,

y = 2e^(-5x) + B xe^(-5x)

Derivando,

⇒ y' = -10e^(-5x) + B (e^(-5x) - 5xe^(-5x))

⇒ y' = -10e^(-5x) + B e^(-5x) - 5B xe^(-5x)

⇒ y' = (-10 + B) . e^(-5x) - 5B xe^(-5x)

Substituindo y'(0) = -3, temos

(-10 + B) . e^(-5 . 0) - 5B . 0 . e^(-5 . 0) = -3

⇒ (-10 + B) . 1 - 5B . 0 = -3

⇒ -10 + B = -3

⇒ B = -3 + 10

⇒ B = 7

Logo, a solução para a equação homogênea é

y = 2e^(-5x) + 7x . e^(-5x)

e esta já é também a solução para o PVI.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!