Question

Resolva o problema de valor inicial y'' - 81y = 0 y(0) = 3 y'(0) -4?

Answer 1

Olá


Problema do valor inicial... Equação diferencial de segunda ordem.



Dada a EDO de 2ª ordem homogênea.

y'' - 81y = 0

e o PVI

y(0) = 3
y'(0) = -4




A equação característica


k² - 81 = 0

k² = 81

k = +-√81


k1 = -9  
k2 = 9 


E equação homogênea é dada por


$\dislaystyle\mathsf{Y=C_1e^{k_1x}~+C_2e^{k_2x}}\\\\\\\\\mathsf{k_1=-9\qquad\qquad k_2=9}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{Y=C_1e^{-9x}~+C_2e^{9x}}}$



Vamos encontrar y'


$\mathsf{Y=C_1e^{-9x}~+C_2e^{9x}}}\\\\\\\boxed{\mathsf{Y'=-9C_1e^{-9x}~+~ 9C_2e^{9x}}}$




Vamos substituir o valor inicial em y


y(0) = 3


$\mathsf{Y=C_1e^{-9x}~+C_2e^{9x}}}}\\\\\\\mathsf{3=C_1e^{-9\cdot0}~+C_2e^{9\cdot0}}}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{C_1+C_2~=~3}}\qquad\qquad\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Guarde essa informacao}$



Substituindo o valor inicial em y'


y'(0) = -4



$\mathsf{Y'=-9C_1e^{-9x}~+~ 9C_2e^{9x}}\\\\\\\mathsf{-4=-9C_1e^{-9\cdot0}~+~ 9C_2e^{9\cdot0}}\\\\\\\boxed{\mathsf{-9C_1+9C_2=-4}}$




Agora basta montar um sistema 2x2 com as informações obtidas no valor inicial... Com isso encontraremos o valor de C1 e C2


$\displaystyle\mathsf{ \left \{ {{C_1+C_2=3} \atop {-9C_1+9C_2=-4}} \right. }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{C_1= \frac{31}{18} }}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{C_2= \frac{23}{18} }}$



Então dai tiramos que



$\boxed{\displaystyle \mathsf{Y= \frac{31}{18} e^{-9x}~+ \frac{23}{18} C_2e^{9x}}}}$




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