Question

Resolva o problema de valor inicial:

$(1+x)dx - 3x^{2} y^{2} dy = 0, y(1) = 0$

Answer 1

Temos a seguinte EDO:

$(1+x)dx - 3x^{2} y^{2} dy = 0$

Observe que essa EDO é do tipo de equações separáveis, portanto vamos iniciar por isso, isto é, fazendo a separação de incógnitas x para um lado e incógnitas y para o outro:

$(1 + x)dx - 3x {}^{2} y {}^{2} dy = 0 \\ \\ (1 + x)dx = 3x {}^{2} y {}^{2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{1 + x}{x {}^{2} } dx = 3y {}^{2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Integrando ambos os lados:

$\int \frac{1 + x}{x {}^{2} } dx = \int 3y {}^{2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\ \\ \int \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{x}{x {}^{2} }dx = \int 3y {}^{2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int x {}^{ - 2} + \frac{1}{x {}^{} } dx \ = \int 3y {}^{2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int x {}^{ - 2} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int 3y {}^{2} dy$

Aplicando a regra da potência:

$\frac{x {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} + c_{1} + \ln( |x| ) + c_{2} = 3. \frac{ {y}^{2 + 1} }{3} + c_{3} \\ \\ \frac{x {}^{ - 1} }{ - 1} + c_{1} + \ln( |x| ) + c_{2} = y {}^{3} + c_{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \ln( |x|) - \frac{1}{x} + c_{1} + c_{2} = y {}^{3} + c_{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \ln( |x| ) - \frac{1}{x} = y {}^{3} + c_{3} - c_{1} - c_{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \ln( |x| ) - \frac{1}{x} = y {}^{3} + c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Isolando o y, tem-se:

$\ln( |x| ) - \frac{1}{x} - c = y {}^{3} \\ \\ \frac{x \ln( |x| ) - 1}{x} - c = y {}^{3} \\ \\ \frac{x \ln(x) - 1 - c}{x} = y {}^{3} \\ \\ y = \sqrt[3]{ \frac{x \ln( |x| ) - 1 - c}{x} }$

Por fim, devemos apenas substituir o valor informado na questão, ou seja, quando x = 1, o y = 0, então:

$0 = \sqrt[ 3]{ \frac{1. \ln( |1|) - 1 - c }{1} } \\ \\ 0 = \sqrt[3]{ \frac{0 - 1 - c}{1} } \\ \\ 0 = \sqrt[3]{ - c - 1} \\ \\ 0 {}^{3} = - c - 1 \\ \\ c = - 1$

Pronto, agora é só substituir o valor de c:

$y = \sqrt[3]{ \frac{x. \ln( |x| ) - 1 - 1}{x} } \\ \\ y = \sqrt[3]{ \frac{x. \ln( |x|) - 2}{x} }$

Espero ter ajudado