Question

Resolva o problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem:

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\begin{cases}y' = y. \cos(x) + \cos(x) \\ y(0) = 2 \end{cases}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para resolver esse problema, devemos resolver uma EDO de uma classificação "x" que não sabemos ainda. Primeiro vamos lembrar que:

$y' = \frac{dy}{dx} \to mesmo \: significado$

Vamos ultilizar a segunda notação ao invés de y'. Vamos reescrever com essa notação e observar se essa EDO será de variáveis separáveis:

$\frac{dy}{dx} = y. \cos(x) + \cos(x) \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(x).( 1 + y) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ dy = \cos(x).(1 + y).dx \longrightarrow \boxed{ \frac{1}{1 + y} .dy = \cos(x)dx }\: \: \: \: \:$

Note que ela é sim uma EDO de variáveis separáveis, então vamos agora aplicar a integral em ambos os membros dessa EDO:

$\int \frac{1}{1 + y}dy = \int \cos(x)dx$

Note que as duas integrais são basicamente imediatas, ou seja, já possuem valores predefinidos, então temos que:

$\boxed {\int \frac{1}{y} dy = \ln( |y| ) + k \: \: e \: \: \int \cos(x)dx = \sin(x) + k } \\ \\ \int \frac{1}{1 +y} dy = \int \cos(x)dx \\ \\ \ln( |1 + y)| + c_{1} = \sin(x) + c_{2} \\ \\ \ln( |1 + y)| = \sin(x) + c_{2} - c_{1} \\ \\ \ln( |1 +y| ) = \sin(x) + c_{1} \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos isolar o "y", para isso devemos lembrar da definição de logarítmo, que diz que a base elevado ao logaritmo é igual ao logaritmando, então temos que:

$\boxed{ \log_{b}(a) = c\longrightarrow a= c{}^{b} } \\ \ast \ln(x) = \log_{e}(x) \\ \\ \ \log_{e}( | 1 + y| ) = \sin(x) + c_{1} \\ \: \: \: |1 + y| = e {}^{ \sin(x) + c_{1} }$

Nós sabemos que aquele expoente somado pode ser transformado em uma multiplicação de bases iguais, então:

$\boxed{x {}^{n + m} = x {}^{n} .x {}^{m}} \\ \\ |1 + y| = e {}^{ \sin(x)} .e {}^{c_{1} }$

Mas o número de euler elevado a qualquer outra constante permanece sendo uma constante, já que é um número elevado a outro, então:

$|1 + y| = e {}^{ \sin(x)} .c_{1}$

Aquele módulo passa para o outro método como um sinal de ±, mas não importa se a constante será positiva ou negativa:

$1 +<strong> </strong>y = e {}^{ \sin(x)} .c_{1} \\ \\\boxed{\boxed{y = e {}^{ \sin(x)} .c_{1} - 1}}$

Agora é só usar a relação do PVI dada pela questão que diz que quando x = 0 o y = 2:

$2 = e {}^{ \sin(0)} .c_{1} - 1 \\ 2 = e {}^{0} .c_{1} - 1 \: \: \: \: \: \: \\ c_{1} = 2 + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{c_{1} = 3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Concluímos com isso que a solução particular é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{\boxed{y = 3e {}^{ \sin(x)} - 1}}}}$

Espero ter ajudado