Question

Resolva o problema de valor inicial a seguir

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Problemas do Valor Inicial

Dada que $\begin{cases}\sf{\Big(e^{2y}-y\Big)\cos(x)\dfrac{dy}{dx}~=~ e^y * \sin(2x)} \\ \\ \sf{y(0)~=~0} \end{cases}$

• Veja primeiro que estamos perante a uma equação diferencial separavel , primeiro vamos ter o seguinte :

$\iff \sf{ \dfrac{e^{2y}-y}{e^y}*\dfrac{dy}{dx}~=~ \dfrac{sin(2x)}{\cos(x)} }$

• Se aproveitando d'uma identidade trigonometrica , no segundo membro podemos ter que :

$\iff \sf{\Big( \dfrac{e^y*e^y}{e^y} - \dfrac{y}{e^y}\Big)dy ~=~ \dfrac{2\sin(x)*\cancel{\cos(x)}}{\cancel{\cos(x)}} dx }$

$\iff \sf{ \Big( e^y - ye^{-y}\Big)dy ~=~ 2\sin(x)dx }$

• Vamos aplicar integrais para ambos membros :

$\displaystyle\int\sf{\Big(e^y-ye^{-y}\Big)dy}~=~ \displaystyle\int\sf{2\sin(x)dx}$

$\iff \displaystyle\int \sf{e^ydy}-\displaystyle\int\sf{ye^{-y}dy}~=~\sf{2}\displaystyle\int\sf{\sin(x)dx}$

$\iff \sf{e^y + e^{-y}(y + 1)~=~-2\cos(x) }$

$\iff \sf{ye^{-y}~=~ -2\cos(x) - e^y-e^{-y} }$

$\iff \sf{ y~=~ -2\cos(x)*e^y - e^{2y} - 1 + C }$

• Lembremos que: $\sf{y(0)~=~0}$.

$\iff \sf{0 ~=~ -2\cos(0)*e^0 - e^0 - 1 + C }$

$\iff \sf{ C~=~ 4 }$ Então vamos ter :

$\green{\iff \boxed{\boxed{\sf{ y~=~-2\cos(x)e^y-e^{2y}+3 } \checkmark } } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE=)

Answer 2

(e^(2y) -y)*cos(x) *dy/dx =e^(y) * sen(2x)

[e^(2y)-y]/e^(y)   dy  = sen(2x)/cos(x)  dx

e^(y)- y*e^(-y)   dy  = 2*sen(x)*cos(x)/cos(x)  dx

e^(y)- y*e^(-y)   dy  = 2*sen(x)  dx

∫  e^(y)- y*e^(-y)   dy  = 2* ∫ sen(x)  dx

_________________________

∫ y*e^(-y)   dy

Fazendo por partes

u=y  ==>du=dy

dv =e^(-y)   dy   ==>∫ dv =∫e^(-y)   dy  ==>v=-e^(-y)

∫ y*e^(-y)   dy  =-y * e^(-y) - ∫-e^(-y) dy

∫ y*e^(-y)   dy  =-y * e^(-y) +∫e^(-y) dy

∫ y*e^(-y)   dy  =-y * e^(-y) -e^(-y)  =-e^(-y) *(y +1) + c

________________________________

∫  e^(y) dy - ∫  y*e^(-y)   dy  = 2* ∫ sen(x)  dx

=> e^(y) +e^(-y) *(y +1) =-2*cos(x)  + c

para y(0)=0

=> e^(0) +e^(-0) *(0 +1) =-2*cos(0)  + c

1+1=-2*1 + c  ==>c=4

e^(y) +e^(-y) *(y +1) =-2*cos(x)  + 4