Question

Resolva o problema de valor inicial...

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais e problemas de valor inicial.

Primeiro, integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável :

$\displaystyle{\int f'(x)\,dx=\int 2\cos(x)-3\csc^2(x)\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int \alpha\cdot g(x)+\beta\cdot h(x)\,dx=\alpha\cdot\int g(x)\,dx+\beta\cdot \int h(x)\,dx}$.

• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int g'(x)\,dx=g(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.

• A integral da função cosseno é igual a função seno: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx={\rm{sen}}(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.

• A integral do oposto da função cossecante ao quadrado é igual a função cotangente: $\displaystyle{\int (-\csc^2(x))\,dx=\cot(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique o TFC e a linearidade e calcule as integrais

$\displaystyle{f(x)+C_1=2\cdot\int \cos(x)\,dx+3\cdot\int(-\csc^2(x))\,dx}\\\\\\ f(x)+C_1=2\cdot({\rm{sen}}(x)+C_2)+3\cdot(\cot(x)+C_3)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f(x)+C_1=2\,{\rm{sen}}(x)+2\,C_2+3\cot(x)+3\,C_3$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $2\,C_2+3\,C_3-C_1=C$, uma constante arbitrária.

$f(x)=2\,{\rm{sen}}(x)+3\cot(x)+C$

Utilizando a condição de contorno $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=8$, calculamos o valor numérico da constante $C$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\underbrace{\,{\rm{sen}}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}_1+3\underbrace{\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}_0+C\\\\\\ 8=1+C$

Subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade

$C=7$

Dessa forma, a função que satisfaz o problema de valor inicial é:

$\boxed{f(x)=2\,{\rm{sen}}(x)+3\cot(x)+7}~~\checkmark$