Question

Resolva o problema a seguir utilizando seus conhecimentos de máximos e mínimos e também de derivada. Imagine que um setor da prefeitura de sua cidade cuida de um pomar para suprir as necessidades de maçãs das escolas municipais da região. Sabe-se que há 50 árvores (macieira) no pomar e que cada macieira produz 800 maçãs. Os agrônomos informaram que para cada árvore adicional plantada no pomar, a produção por arvore diminuirá em 10 frutas. Encontre a quantidade de árvores (macieiras) que devem ser acrescidas (plantadas) no pomar de modo a maximizar a produção de maçãs

Answer 1

A relação é a seguinte: para cada árvore acrescida ao pomar, há uma diminuição de dez unidades na produção individual de cada árvore. 

Quantidade de árvores inicialmente: 50 
Produção individual de cada árvore inicialmente: 800 maçãs

A partir do momento que começamos a adicionar x árvores, ocorre o seguinte:

Quantidade de árvores: 50+x
Produção individual por árvore: 800-10x

Como a produção total de maçãs decorre do produto entre a quantidade de árvores no pomar e o quanto cada árvore produz, nós chegamos a seguinte expressão:

$P(x)=(50+x)(800-10x)\\\\P(x)=40.000-500x+800x-10x^2\\\\P(x)=-10x^2+300x+40.000$

Derivando:

$P'(x)=-10x^2+300x+40.000$

"A derivada de um polinômio é a soma das derivadas de seus termos"
"A derivada de qualquer termo constante é zero"

Pela regra do "tombo":

$P'(x)=2(-10)x^{2-1}+300x^{1-1}+0\\\\P'(x)=-20x^1+300x^0\\\\P'(x)=-20x+300\\\\P'(x)=-20x+300$

Se uma função é derivável em certo intervalo aberto, e x = x0 é um ponto extremo de f, isto é, se f assume valor máximo ou valor mínimo em x0, então, f'(x0) = 0 (a derivada de f tem que se anular nesse ponto).

Sendo assim:

$0=-20x+300\\\\-20x=-300\\\\x=\dfrac{-300}{-20}\\\\\\\large\fbox{ x=15 }$

Ou seja, com 15 árvores acrescidas ao pomar a produção total de maçãs atinge seu valor máximo.