Question

Resolva o limite utilizando artifícios algébricos:

lim x³ - 3x - 2/ x² + 3x -10
x->2

Answer 1

Oi Thais 

Pode tentar dessa forma se quiser: 

Se substituirmos 2 no lugar de x teremos uma indeterminação do tipo 0/0. 

O que podemos fazer é tirar as raízes do numerador e denominador. Sabemos que 2 é raiz, pois ele zera a função. Então :

x=2
x-2=0 

Vamos dividir o numerador e denominador por x-2

 x³ + 0x² - 3x-2  |  x-2
-x³+  2x²                x² +2x +1
  0 + 2x² -3x
     -  2x²+4x
         0      x -2
                -x+2
                    0  

x³-3x-2 = (x-2)(x²+2x+1)

Agora denominador:

 x²+3x-10      | x-2
-x²+2x             x+5
 0 +5x-10
     -5x+10
        0    0

x²+3x-10   =  (x-2)(x+5)

Resolvendo o limite 

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2+3x-10} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+1)}{(x-2)(x+5)} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+2x+1)}{(x+5)} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{(2^2+2.2+1)}{(2+5)} \\ \\ \boxed{\lim_{x \to 2} \frac{9}{7}}$



Espero que goste :)

Answer 2

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3}-3x-2}{x^{2}+3x+10}$
$\frac{ \lim_{x \to 2} x^{3}-\lim_{x \to 2}3x -\lim_{x \to 2}2}{\lim_{x\to2}x^{2}+lim_{x\to2}3x-\lim_{x\to2}10}$
$\frac{(\lim_{x\to2}x)^{3}-3(\lim_{x\to2}x)-2}{(\lim_{x\to2}x)^{2}+3(\lim_{x\to2}x)-10}$
$\frac{(2)^{3}-3(2)-2}{(2)^{2}+3(2)-10}$
$\frac{8 - 6-2}{4+6-10}$
$\frac{0}{0}$, este é um caso particular dos limites em que não há regra geral.

Agora com Álgebra:
$\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-3x-2}{x^{2}+3x-10}$, Após descobrir as raízes de ambas as funções e fazermos alguns testes algébricos podemos escrevê-las desta forma:
$\lim_{x\to2}\frac{(x+1)^{2}(x-2)}{(x+5)(x-2)}$
$\lim_{x\to2}\frac{(x+1)^{2}}{x+5}$
$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+2x+1}{x+5}$, este limite já não mais possui a indeterminação $\frac{0}{0}$, logo:
$\frac{2^{2}+4+1}{2+5} = \frac{9}{7}$
$\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-3x-2}{x^{2}+3x-10} = \frac{9}{7}$