Question

resolva o limite:

$\lim _{\theta \to \frac{\pi }{2}}\left(\tan ^2\left(\theta \right)\left[1-\sin \left(\theta \right)\right]\right)$
​

Answer 1

Para resolver o limite demonstrado, devemos utilizar nossos conhecimentos sobre trigonometria e fatoração, de modo a simplificar a expressão.

• Simplificando

O limite informado foi o seguinte:

$lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}(tan^2(\theta) \cdot [1-sen(\theta)])$

Não podemos substituir diretamente o Pi/2 no limite para calculá-lo, pois isso tornaria o ângulo da tangente igual a 90°, e a tangente desse ângulo não pode ser calculada.

A solução mais prática é tentar simplificar a expressão.

Sabemos que a tangente é a razão entre seno e cosseno.

Substituindo:

$=\dfrac{sen^2(\theta)}{cos^2(\theta)} \cdot [1-sen(\theta)]$

Pela relação fundamental da trigonometria, podemos afirmar que:

$cos^2(\theta)=1-sen^2(\theta)$

Substituindo:

$=\dfrac{sen^2(\theta)}{1 - sen^2(\theta)} \cdot [1-sen(\theta)]$

Dos casos de produtos notáveis conhecidos, utilizaremos o produto da soma pela diferença de dois termos:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

No nosso caso:

$1-sen^2(\theta)=(1+sen(\theta))\cdot (1-sen(\theta))$

Substituindo:

$=\dfrac{sen^2(\theta)}{(1+sen(\theta))\cdot (1-sen(\theta))} \cdot (1-sen(\theta))$

Simplificando os (1-sen)

$=\dfrac{sen^2(\theta)}{(1+sen(\theta))}$

Logo, nosso novo limite ficará da seguinte forma:

$lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}}\: \: \dfrac{sen^2(\theta)}{1+sen(\theta)}$

• Calculando o Limite

Para calcular este limite, só precisamos substituir o ângulo Theta por Pi/2, lembrando que:

$sen(\frac{\pi}{2})=1$

Calculando:

$lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}\: \: \dfrac{sen^2(\theta)}{1+sen(\theta)}=\dfrac{sen^2(\frac{\pi}{2})}{1+sen(\frac{\pi}{2})}$

$lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}}\: \: \dfrac{sen^2(\theta)}{1+sen(\theta)}=\dfrac{(1)^2}{1+1}$

$lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}}\: \: \dfrac{sen^2(\theta)}{1+sen(\theta)}=\dfrac{1}{2}$

• Resposta:

Quando Theta tende a Pi/2, o Limite da expressão vale 1/2.

$lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}(tan^2(\theta) \cdot [1-sen(\theta)])=\dfrac{1}{2}$

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Answer 2

$\tt \underbrace{\tt \bullet \ Ol\acute{a} \ Mestre \ crsjr}$

$\tt \displaystyle lim \ {\tt \theta \to \dfrac{\pi }{2}}\left(tan^2\left(\theta \right)\left[1-sin\left(\theta \right)\right]\right)}\\\\\\\tt =lim \ { \theta \to \dfrac{\pi }{2}}\left(\frac{1-sin \left( \theta \right)}{\dfrac{1}{tan ^2\left( \theta \right)}}\right)\\\\\\\tt =lim \ {\theta \to \dfrac{\pi }{2}}\left(\dfrac{-cos \left(\theta\right)}{-2csc ^2\left(\theta \right)cot \left(\theta\right)}\right)\\\\\\\tt$

$\tt \displaystyle =lim \ {\theta \to \dfrac{\pi }{2}}\left(\frac{cos \left(\theta\right)}{2csc ^2\left(\theta \right)cot \left(\theta \right)}\right)\\\\\\\tt =lim \ {\theta \to \dfrac{\pi }{2}}\left(\dfrac{-sin \left(\theta \right)}{4csc ^2\left(\theta \right)-6csc ^4\left(\theta \right)}\right)\\\\\\\tt =\dfrac{-sin \left(\dfrac{\pi }{2}\right)}{4csc ^2\left(\dfrac{\pi }{2}\right)-6csc ^4\left(\dfrac{\pi }{2}\right)}\\\\\\\to \boxed{\tt =\frac{1}{2}\to0,5}$