Question

Resolva o Limite:

$\large \sf \dfrac{lim}{x -> 8} \: \: \dfrac{ {x}^{2} - 64 }{x - 8}$

A) 20

B) 16

C) 17

D) 19


Com Cálculo! ​

Answer 1

Resposta:

B)

Explicação passo-a-passo:

Se simplesmente substituirmos $x$ por 8 obteremos uma divisão de 0 por 0. Isso quer dizer que 8 é raiz tanto de $x^2-64$ quanto de $x-8$, significando que podemos simplificar esta fração. De fato, igualando o numerador a 0, achamos que $x^2-64=0\therefore x^2=64\therefore x=\pm8$. Podemos então reescrever este polinômio a partir de suas raízes como sendo $x^2-64=(x+8)(x-8)$. Ficamos então com:

$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{x^2-64}{x-8}=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{(x+8)(x-8)}{x-8}$

$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{x^2-64}{x-8}=\lim_{x\rightarrow 8}x+8$

$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{x^2-64}{x-8}=8+8=16$

Answer 2

Olá, boa noite Murilo!

Para resolucionarmos o limite acima, temos vários métodos, porém eu irei realizar por L'Hopital, logo o primeiro passo para encontramos o limite será avaliar o denominador e o numerador separadamente ( conservando o limite ).

$\sf lim_{x \to8}\Bigg( \frac{x {}^{2} - 64 }{x - 8} \Bigg) \\ \\ \\ \\ \sf \cancel{lim_{x \to8}}\Big(x {}^{2} - 64\Big) \\\sf 8 {}^{2} - 64 \\\sf 64 - 64 \\\sf \green0 \\ \\ \\ \sf \cancel{lim_{x \to8}}(x - 8) \\ \sf 8 - 8 \\ \sf \green0$

Dado ambos os resultados 0, o resultado será indeterminado, logo iremos voltar ao limite inicial e aplicar a derivada aos termos do limite.

$\sf lim_{x \to8}\Bigg( \frac{ \frac{d}{dx} \Big(x {}^{2} - 64 \Big)}{ \frac{d}{dx} (x - 8)} \Bigg)$

Calculando a derivada do numerador:

Para calcular-mos a derivada do numerador, o primeiro passo será utilizar a regra de derivação $\sf \frac{d}{dx} (x - y) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} (y)$.

$\sf \frac{d}{dx} \Big(x {}^{2} \Big) - \frac{d}{dx} (64) \\ \\ \\ \sf 2x {}^{2 - 1} - \frac{d}{dx} (64) \\ \\ \\ \sf 2x {}^{1} - \frac{d}{dx} ( 64) \\ \\ \\ \sf 2x - 0 \\ \\ \\ \huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf 2x}}}}}$

Calculando a derivada do denominador:

Utilizando a mesma regra para formação de derivadas, iremos resolucionar a derivada do denominador.

• Caso não lembre a regra: $\sf \frac{d}{dx} (x - y) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} (y)$

$\sf \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} (8) \\ \\ \\ \sf 1 - \frac{d}{dx} (8) \\ \\ \\ \sf 1- 0 \\ \\ \\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{ \sf 1}}}}}$

Resultados das derivadas:

• Numerador 2x
• Denominador 1

Obs:

Ambas apresentam a regra em que diz a derivada de uma constante sempre será equivalente a 0.

Apenas a do denominador possui a regra que diz a derivada de uma única variável é equivalente a 1.

Voltando para a fração e o limite:

$\sf lim_{x \to8}\Bigg( \frac{2x}{1} \Bigg)$

Sabendo que qualquer expressão divida por ela mesma é equivalente a 1, iremos deixar apenas o 2x.

$\sf \cancel{lim_{x \to8}}(2x)$

Então agora basta aplicar o limite onde deveremos apenas substituir x por 8, assim como fizemos no início avaliando os limites dos termos fracionários ( numerador e denominador ).

$\sf 2 \cdot8 \\ \huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf 16}}}}}$

Resposta:

• 16

Resposta em alternativa:

• Alternativa B

Tarefas similares:

• https://brainly.com.br/tarefa/28597492
• https://brainly.com.br/tarefa/22913487
• https://brainly.com.br/tarefa/25665298
• https://brainly.com.br/tarefa/25652099

Att: Nerd1990