Question

Resolva o limite:

$\boxed{\large\underset{\theta\to0}{lim} \: \dfrac{\theta - \cotg(\theta) }{ ln({\theta }^{2} ) }}$
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

$\lim_{ \theta \to 0} \frac{\theta-(\theta)}{ln(\theta)^2}$

Inicialmente vamos analisar o nosso limite por partes.

Analisando apenas o numerador.

$\lim_{\theta \to 0} \theta - \theta\\\\\lim_{\theta \to 0} \theta - \theta= 0$

Se eu subtrair um numero de outro que é de mesmo valor essa subtração sempre será zero.

Por exemplo, se eu tomar que $\theta$= 0,0001 e usarmos a regra da substituição direta, temos:

$\lim_{\theta \to 0} \theta - \theta\\0,0001-0,0001= 0$

Analisando agora o denominador.

$\lim_{\theta \to 0} ln(\theta)^2$

É importante lembrar que quando digo que θ tende a 0, quero dizer que, θ tomará valores cada vez menores (próximos a 0) mas não será 0.

Logo, se leta se aproxima cada vez mais de 0, ele se torna um valor cada vez menor.

Com isso sempre teremos o ln de um numero cada vez menor, e como entre dois números inteiros temos infinitos números,

Podemos dizemos que :

$\lim_{\theta \to 0} ln(\theta)^2= - \infty$

Com isso finalmente chegamos na indeterminação do tipo:

$\lim_{ \theta \to 0} \frac{\theta-(\theta)}{ln(\theta)^2}= \frac{0}{-\infty}$

E por definição sabemos que 0 dividido por qualquer numero é 0, e por isso:

$\lim_{ \theta \to 0} \frac{\theta-(\theta)}{ln(\theta)^2}= \frac{0}{-\infty}\\\\\lim_{ \theta \to 0} \frac{\theta-(\theta)}{ln(\theta)^2}= 0$

Answer 2

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  $\huge { \bf Conte \acute {u} do: }$

            · Limites

1. Pela propriedade dos limites contemos:

$\large {\boxed { \sf Se \: lim_{x \rightarrow a} _{-} f(x) = lim _{x \rightarrow a} _{+} f(x) = L \: ent \~ ao \: lim_{x \rightarrow a} f(x) =L }}$

2. Dado que seu numerador se aproxima de um número real enquanto seu denominador não tem limite, a fração  $\large { \sf \cfrac{\theta - \theta }{ln (\theta ^2)} }$ se aproxima de 0.

Então teremos:

$\huge { \sf \lim _{\theta \to \:0}-\left(\cfrac{\theta -\theta \:}{ln\left(\theta \:^2\right)}\right) = 0 }$

$\huge { \sf \lim _{\theta \to \:0}+\left(\cfrac{\theta -\theta \:}{ln\left(\theta \:^2\right)}\right) = 0 }$

3. Resultando em....

$\huge {\boxed {\boxed { 0 }}}$

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