Question

resolva o escalonamento de sistema linear
X + 2y + z = 0
2x-y+z = 1
-x + 3y +z=-2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}~\left|~(x,~y,~z)=(1,~0,~-1)\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, utilizamos a técnica do escalonamento ou eliminação de Gauss-Jordan.

Seja o seguinte sistema:

$\begin{cases}x+2y+z=0\\2x-y+z=1\\-x+3y+z=-2\\\end{cases}$

Reescrevendo este sistema na forma de matriz ampliada, teremos

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\2 & -1 & 1 & 1 \\-1 & 3 & 1 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}$

Para escalonarmos, basta escolher um elemento pivô (elementos da diagonal principal) e multiplicarmos sua linha por uma constante e somá-la  a outra até que todos os elementos abaixo da diagonal sejam iguais a zero.

Escolhendo o elemento $a_{11}=1$, começamos multiplicando a primeira linha por $-2$ e somando à segunda linha:

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\2 & -1 & 1 & 1 \\-1 & 3 & 1 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot(-2)+L_2\\\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -5 & -1 & 1 \\-1 & 3 & 1 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}$

Então, multiplique a primeira linha por $1$ e some à terceira linha:

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -5 & -1 & 1 \\-1 & 3 & 1 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot1+L_3\\\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -5 & -1 & 1 \\0 & 5 & 2 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}$

Agora, escolhemos o elemento $a_{22}=-5$ como pivô. Multiplique a segunda linha por $1$ e some à terceira linha:

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -5 & -1 & 1 \\0 & 5 & 2 & -2 \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_2\cdot1+L_3\\\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -5 & -1 & 1 \\0 & 0 & 1 & -1 \\\end{array}\end{bmatrix}$

Dessa forma, lembre-se que os elementos que restaram serão coeficientes do sistema escalonado, dessa forma, teremos:

$\begin{cases}x+2y+z=0\\0x-5y-z=1\\0x+0y+z=-1\\\end{cases}$

Assim, vemos que $z=-1$. Substituindo este dado na segunda equação, teremos:

$-5y-(-1)=1$

Efetue a propriedade de sinais

$-5y+1=1$

Isole $y$, subtraindo $1$ em ambos os lados da equação

$-5y=1-1$

Some os valores

$-5y=0$

Divida ambos os lados da equação por $-5$

$y=0$

Substituindo estes dados na primeira equação, teremos

$x+2\cdot 0-1=0$

Multiplique os valores

$x-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da equação

$x=1$

Estas são as soluções para este sistema linear.