Question

Resolva o complexo a seguir Z=(1+i)^64 tendo como dica (1+i)=2i

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor do seguinte complexo:

z = (1+i)⁶⁴ ------ veja que você poderá reescrever esta expressão do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

z = [(1+i)²]³²

Agora note uma coisa importante e não esqueça mais: (1+i)² = 2i. Se fosse (1-i)²  seria "-2i". Mas como temos (1+i)² então isto é igual a "2i".
Assim, substituiremos (1+i)² por "2i". Logo, ficaremos da seguinte forma:

z = [2i]³² ---- note que isto é a mesma coisa que:

z = 2³².i³² ----- note que 2³² = 4.294.967.296 e i³² = i⁰ = 1. Assim, ficaremos:

z = 4.294.967.296*1
z = 4.294.967.296 <--- Pronto. Esta é a resposta.

Observação: veja o porquê de i³² = i⁰ = 1 .
Atente que as potências de "i" sempre se repetem em ciclos de "4", da seguinte forma:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i.

Para saber isso, basta dividir o expoente de "i" por "4" e ver qual é o quociente e qual é o resto. O resultado será o "i" elevado ao resto que der.
Então se você tomar o expoente 32 e dividir por "4" vai encontrar quociente igual a 8 e resto igual a zero. Por isso é que i³² = i⁰ = 1.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.