Question

Resolva no intervalo 0 ≤ x < 2pi, a equação 2cos2x + cosx -1= 0

Answer 1

Resolver a equação

$2\cos 2x+\cos x-1=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

no intervalo $0\leq x<2\pi.$


$\bullet\;\;$ Utilizando a identidade do cosseno do arco duplo

$\cos 2x=2\cos^{2}x-1$


e substituindo na equação $\mathbf{(i)},$ obtemos

$2\cdot (2\cos^{2}x-1)+\cos x-1=0\\ \\ 4\cos^{2}x-2+\cos x-1=0\\ \\ 4\cos^{2}x+\cos x-3=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Façamos a seguinte troca de variável:

$\cos x=t\;\;\;\;(-1\leq t\leq 1)$


Substituindo em $\mathbf{(ii)},$ a equação fica

$4t^{2}+t-3=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


A equação acima é uma equação do 2º grau em $t.$ Podemos resolvê-la por Báscara ou por qualquer outro método de resolução. Aqui, vou utilizar fatoração por agrupamento.


$\bullet\;\;$ Podemos reescrever o lado esquerdo da equação $\mathbf{(iii)}$ da seguinte forma:

$4t^{2}-3t+4t-3=0\\ \\ (4t^{2}-3t)+(4t-3)=0$


Colocando $t$ em evidência nos termos do primeiro parênteses, temos

$t\cdot (4t-3)+1\cdot (4t-3)=0$


Colocando o fator comum $(4t-3)$ em evidência, temos

$(4t-3)\cdot (t+1)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} 4t-3=0&\;\text{ ou }\;&t+1=0\\ \\ 4t=3&\;\text{ ou }\;&t=-1\\ \\ t=\frac{3}{4}&\;\text{ ou }\;&t=-1 \end{array}$


Os dois valores encontrados satisfazem a condição inicial para a variável $t,$ que é $-1\leq t \leq 1.$


$\bullet\;\;$ Substituindo de volta para a variável original $x,$ temos

$\begin{array}{rcl} \cos x=\frac{3}{4}&\;\text{ ou }\;&\cos x=-1 \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{crccclc}\\&x=\arccos\left(\frac{3}{4} \right )&\;\text{ ou }\;&x=2\pi-\arccos\left(\frac{3}{4} \right )&\;\text{ ou }\;&x=\pi&\\\\ \end{array}}$


$\bullet\;\;$ No intervalo $0\leq x<2\pi,$ o conjunto solução para a equação dada é

$S=\left\{\arccos\left(\frac{3}{4} \right ),\;2\pi-\arccos\left(\frac{3}{4} \right ),\;\pi \right \}$

Answer 2

Resposta: e)

Explicação passo a passo: