Question

Resolva, no intervalo 0 ≤ x < 2π, a equação cos² x = cos x , e dê o conjunto solução

Answer 1

Vamos resolver a equação cos²(x) = cos(x) no intervalo real  0 ≤ x < 2π. Sendo assim, temos:

$\mathsf{\qquad\quad \ \:\, cos^2(x)=cos(x)}\\\\ \mathsf{\iff\quad cos^2(x)-cos(x)=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad cos(x)[cos(x)-1]=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad cos(x)=0\quad\ \ ou\ \ \quad cos(x)-1=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad cos(x)=0\quad\ \ ou\ \ \quad cos(x)=1}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad\, x\,\in\,\left\{\dfrac{\pi}{2}\,,\dfrac{3\pi}{2}\right\}\: \quad ou\ \ \quad x=0}$

Portanto, o conjunto solução será:

$\mathsf{S=\left\{0\,,\dfrac{\pi}{2}\,,\dfrac{3\pi}{2}\right\}.}$

Answer 2

Resposta:

$S=\{x\in\Re~|~x=0~ou~x=\frac{\pi}{2}~ou~x=\frac{3\pi}{2}\}$

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para começar, a resolver esse exercício, vamos achar o valor de cos x. E, em seguida, iremos identificar quais ângulos possuem esse cosseno no intervalo proposto.

Primeiramente, iremos organizar a equação do segundo grau.

$cos^2~x=cos~x\\\\cos^2~x-cos~x=0$

Para facilitar a compreensão,

$y=cos~x$

Então,

$y^2-y=0$

Agora, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para achar as raízes.

$\boxed{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~~\rightarrow~~\Delta=b^{2}-4ac}$

Lembrando que a, b e c são os coeficientes de x², de x e o termo independente, respectivamente, temos:

$\Delta=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot0\\\\\Delta=1-0\\\\\Delta=1$

$y=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}\\\\\\y=\dfrac{1\pm1}{2}\\\\\\y_1=\dfrac{1-1}{2}=\dfrac{0}{2}=\boxed{0}\\\\\\y_2=\dfrac{1+1}{2}=\dfrac{2}{2}=\boxed{1}$

Já que $y = cos~x$, cos x pode valer 0 ou 1.

No círculo trigonométrico, o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Lembrando que o raio desse círculo vale 1, é muito simples encontrar os valores de x para que cos x = 0 ou cos x = 1.

Analisando o intervalo $0\leq x<2\pi$, os ângulos que possuem esse valores de cosseno são: 0 ( $cos~0=1$ ), π/2 ( $cos~\frac{\pi}{2}=0$ ) e 3π/2 ( $cos~\frac{3\pi}{2}=0$ ).

Portanto, o conjunto solução é:

$S=\{x\in\Re~|~x=0~ou~x=\frac{\pi}{2}~ou~x=\frac{3\pi}{2}\}$

Saiba mais em:

1. Equação do segundo grau: https://brainly.com.br/tarefa/15076013

2. Círculo trigonométrico: https://brainly.com.br/tarefa/15076013

3. Definição de seno cosseno e tangente: https://brainly.com.br/tarefa/3511866

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥