Question

Resolva, no intervalo [0,2π] a equação tg²x + sec²x = 3​

Answer 1

Sendo $\tan x=\sin x/\cos x$ e $\sec x=1/\cos x$:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{1}{\cos^2x}=3$

$\frac{1+\sin^2x}{\cos^2x}=3$

$1+\sin^2x=3\cos^2x$ (I)

Sabe-se que $\sin^2x+\cos^2x=1\iff \sin^2x=1-\cos^2x$. Substituindo em (I):

$3\cos^2x=1+1-\cos^2x$

$4\cos^2x=2$

$\cos^2x=\frac{1}{2}$

$\cos x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos x=\cos\frac{\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{3\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{5\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{7\pi}{4}$

Concluindo assim que as soluções da equação no intervalo [0,2π] são $x=\pi/4$, $x=3\pi/4$, $x=5\pi/4$ e $x=7\pi/4$.