Question

Resolva no conjunto dos números reais a equação sen2x = 1 - cos2x

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{sen\:2\:(x) = 1 - cos\:2\:(x)}$

$\mathsf{2\:.\:sen\:(x)\:.\:cos\:(x) = 1 - cos\:2\:(x)}$

$\mathsf{2\:.\:sen\:(x)\:.\:cos\:(x) = 1 - (1 - 2\:.\:sen^2\:(x))}$

$\mathsf{2\:.\:sen\:(x)\:.\:cos\:(x) = 2\:.\:sen^2\:(x)}$

$\mathsf{cos\:(x) = sen\:(x)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left\{x \in \mathbb{R}~|~x = \tfrac{\pi}{4}+k.\pi,~k\in\mathbb{Z}\right \}}}}$

Answer 2

A solução dessa equação é dada por {x ∈ R / x = π/4 + k·π, k ∈ Z}.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são obtidas a partir do circulo trigonométrico e são periódicas. As principais funções são:

• seno: y = sen x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• cosseno: y = cos x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• tangente: y = tan x; período = π; imagem = ]-∞, +∞[;

Para resolver a equação, precisamos das seguintes identidades trigonométricas:

sen 2x = 2·sen x · cos x

cos 2x = 1 - 2·sen² x

Substituindo na equação:

2·sen x · cos x = 1 - (1 - 2·sen² x)

2·sen x · cos x = 2·sen² x

cos x = sen x

A partir do círculo trigonométrico, sabemos que a igualdade cos x = sen x acontece quando x = π/4 e 5π/4, logo, o período em que essa igualdade ocorre é:

5π/4 - π/4 = π

Então o conjunto solução dessa equação será:

S = {x ∈ R / x = π/4 + k·π, k ∈ Z}

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