Question

Resolva, no conjunto dos números complexos, a equação x4+3x3+11x2+27x+18 = 0 sabendo que +3i e -3i são duas de suas raízes.

Answer 1

x^4 + 3x³ + 11x² + 27x + 18 = 0

Duas de suas raízes são x = 3i e x = -3i, sendo assim podemos dividir essa equação por essas raízes usando briot-ruffini

3i | 1  3      11         27  18

     1  3-3i  9i + 2  6i   0

Temos então a equação

x³ + (3 - 3i)x² + (9i + 2)x + 6i = 0

Dividamos pela outra raiz

-3i | 1  (3 - 3i)   (9i + 2)  6i

      1  3           2           0

Portanto ficamos com a equação

x² + 3x + 2 = 0

Agora basta usar bhaskara

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 3² - 4 . 1 . 2

Δ = 9 - 4. 1 . 2

Δ = 1

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

 

x' = (-3 + √1)/2.1    

x'' = (-3 - √1)/2.1

x' = -2 / 2    

x'' = -4 / 2

x' = -1    

x'' = -2

Então a solução para essa equação é:

S = {-2, -1, -3i, 3i}