Question

Resolva:

M=((n!!+1)[(n!!)^2+3(n!!)+2][(n!!)^2+5(n!!)+6])÷
((n!!+2)!(n!!+3)!)÷(n!!!)^3

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#Cálculo e explicação

Answer 1

Simplificar a expressão M:

$M=\frac{(n!!+1)((n!!)^2+3(n!!)+2)((n!!)^2+5(n!!)+6)}{\frac{(n!!+2)!(n!!+3)!}{(n!!!)^3}}$

Primeiramente vamos fazer a substituição n!! = x.

$M=\frac{(x+1)(x^2+3x+2)(x^2+5x+6)}{\frac{(x+2)!(x+3)!}{(x!)^3}}\\\\M=\frac{(x!)^3(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+2)!*(x+3)!}$

Aqui eu passei para cima o termo lá em baixo e fatorei as equações quadráticas.

Agora observe a seguinte relação:

Para todo y pertencente aos naturais.

$\frac{y!}{y}=(y-1)!$

Analogamente:

$\frac{y}{y!}=(\frac{y!}{y})^{-1}=((y-1)!)^{-1}=\frac{1}{(y-1)!}$

Portanto podemos simplificar os fatoriais que estão no denominador com os seus respectivos termos que estão no numerador, assim:

$M=\frac{(x!)^3(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+2)!*(x+3)!}\\\\M=\frac{(x!)^3(x+1)(x+1)(x+2)}{(x+1)!(x+2)!}\\\\M=\frac{(x!)^3(x+1)}{x!(x+1)!}\\\\M=\frac{(x!)^3}{(x!)^2}\\\\M=x!$

Voltando a variável n, temos que a resposta final é:

$\boxed{M=n!!!}$

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