Question

Resolva limite raiz x2 -x -6 sobre x2 -5x - 14 x igual -2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~\sqrt{\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x-14}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este limite: $\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~\sqrt{\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x-14}}$, devemos relembrar algumas propriedades de fatoração.

Observe que podemos reescrever o numerador e denominador nas formas fatoradas. Dado um polinômio de grau 2 com raízes $x_1$ e $x_2$, tal que seu termo dominante é igual a 1, sua forma fatorada é:

$(x-x_1)\cdot(x-x_2)$

Então, observe o numerador. Por soma e produto, vemos facilmente que suas raízes são $3$ e $-2$. Sua forma fatorada é: $(x-3)(x+2)$.

O denominador, também por soma e produto, tem raízes $7$ e $-5$, logo sua forma fatorada é: $(x-7)(x+5)$

Substituindo estas formas no nosso limite, teremos

$\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~\sqrt{\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-7)(x+2)}}$

Simplifique a fração por um fator $(x+2)$

$\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~\sqrt{\dfrac{x-3}{x-7}}$

Lembre-se que:

• Dado o limite de uma função racional $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $c$, podemos reescrevê-lo como $\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}=L$.

• O limite de uma raiz, ainda quando a função é contínua pode ser reescrita como a raiz do limite: Se $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)=L$, logo $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

Teremos:

$\sqrt{\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~\dfrac{x-3}{x-7}}\\\\\\\ \sqrt{\dfrac{\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~x-3}{\underset{x\rightarrow-2}{\lim}~x-7}}$

Quando a função é contínua, o limite dela tendendo ao ponto é igual ao valor da função naquele ponto: $\underset{x\rightarrow c}{\lim} ~f(x)=f(c)$, logo

$\sqrt{\dfrac{-2-3}{-2-7}}$

Some os valores

$\sqrt{\dfrac{-5}{-9}}$

Simplifique a fração por um fator $(-1)$

$\sqrt{\dfrac{5}{9}}$

Sabendo que $\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$, temos

$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Simplifique a raiz no denominador, visto que $9=3^2$

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

Este é o valor do nosso limite.