Question

resolva , justificando , as seguintes integrais por substituição ou partes : ∫x³ln(x)dx , e , ∫dx/1+5x².

Answer 1

A primeira vai por parte, que é quando a substituição não dá conta. O teorema é o seguinte:

Repetir o Primeiro Termo · Integral do Segundo Termo - ∫ Repetir a Integral do Segundo Termo · Derivada do Primeiro Termo dx

$\displaystyle \int \ln(x) \cdot x^{3} \, dx \\ \\ \\ \ln(x) \cdot \displaystyle \frac{1}{4}x^{4} - \int \frac{1}{4}x^{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \ln(x) \cdot \displaystyle \frac{1}{4}x^{4} - \int \frac{x^{4}}{4x} \, dx \\ \\ \\ \ln(x) \cdot \displaystyle \frac{1}{4}x^{4} - \int \frac{x^{3}}{4} \, dx \\ \\ \\ \ln(x) \cdot \displaystyle \frac{1}{4}x^{4} - \int \frac{1}{4}x^{3} \, dx \\ \\ \\ \ln(x) \cdot \displaystyle \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{16}x^{4} + c$

$\boxed{\boxed{\frac{1}{4}x^{4} \ln(x)-\frac{1}{16}x^{4}+c}}$

A segunda vai por substituição:

$\displaystyle \int \frac{1}{1+5x^{2}} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{1+( \sqrt{5}x )^{2}} \, dx \\ \\ \\ u = \sqrt{5}x \\ \\ du= \sqrt{5} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \int \frac{1}{1+u^{2}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(u)+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\sqrt{5}x) +c}}$