Question

Resolva explicando passo a passo e as propriedades usadas :

a) Determine o valor de x para que a igualdade a seguir seja válida
log2(3x+10) - log2 X = log2 5.

b) Determine o valor de x na equação log2 (12 - 2^×) = 2x

Answer 1

a) como o argumento de cada logaritmo deve ser positivo, tem-se:
$3x + 10 > 0 \wedge x > 0 \iff x > -\dfrac{10}{3} \wedge x > 0 \iff x > 0$
Assim, o valor de $x$ encontrado deve ser positivo.

Como a diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente, obtemos:
$\log_2 (3x + 10 ) - \log_2 x = \log_2 5 \iff \log_2 \left(\dfrac{3x + 10}{x}\right) = \log_2 5$

Como o logaritmo é uma função injetiva e $x\neq 0$, obtemos:
$\dfrac{3x+10}{x} = 5 \iff 3x + 10 = 5x \iff 10 = 2x \iff x = 5>0$

Assim, o conjunto solução é:
$S_\textrm{a)} = \{5\}$

b) como o argumento do logaritmo deve ser positivo, tem-se:
$12 - 2^x > 0 \iff 2^x < 12 \iff x < \log_2 12$
Assim, $x \in \left]-\infty, \log_2 12\right[$

Escrevendo o lado direito da equação como um logaritmo na base 2, vem:
$\log_2 (12-2^x) = \log_2 2^{2x}$

Como o logaritmo é uma função injetiva, vem:
$12 - 2^x = 2^{2x} = \left(2^x\right)^2$

Façamos agora a mudança de variável $y = 2^x > 0$. Obtemos:
$y^2 + y - 12 = 0 \iff (y+4)(y-3) = 0 \iff y \in\{-4,3\}$

Como $-4 < 0$, descartamos essa opção. Por outro lado, $2^x = 3 \iff x = \log_2 3 < \log_2 12$, pelo que este valor é válido.

Assim, o conjunto solução é:
$S_\textrm{b)} = \{\log_2 3\}$