Question

RESOLVA EQUAÇÃO √x+√x-1 = √2x-3

Answer 1

Olá Thiago!

$\\ \mathsf{\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 3}} \\\\ \mathsf{(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})^2 = (\sqrt{2x - 3})^2} \\\\ \mathsf{x + 2\sqrt{x(x - 1)} + (x - 1) = 2x - 3} \\\\ \mathsf{2\sqrt{x^2 - x} = - 2} \\\\ \mathsf{4(x^2 - x) = 4} \\\\ \mathsf{x^2 - x = 1} \\\\ \mathsf{x^2 - x - 1 = 0}$

 Resolvendo a equação, tiramos que:

$\\ \mathsf{x^2 - x - 1 = 0} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{x_1 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}} \\\\ \mathsf{x_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}}} \end{cases}$

 MAS, em se tratando de equações irracionais, devemos verificar se as raízes que encontramos de fato satisfazem a igualdade. Segue:

$\\ \mathsf{Verificando \ x_1:} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} = \sqrt{2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 3}} \\\\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{- 2 + \sqrt{5}}}\\\\\\ \mathsf{\left (\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}} \right )^2 = \left (\sqrt{- 2 + \sqrt{5}} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 2 \cdot \sqrt{\left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right ) \cdot \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )} + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = - 2 + \sqrt{5}} \\\\\\ \mathsf{\sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{\frac{5 - 1}{4}} = - 2 + \sqrt{5}} \\\\\\ \mathsf{2\sqrt{1} = - 2} \\\\ \mathsf{2 = - 2}$

 Como podemos notar, isto é um absurdo. Portanto, $x_1$ não é uma solução da equação irracional dada.

 Por conseguinte, devemos verificar se $x_2$ é uma solução aplicando raciocínio análogo ao de cima.

 Fica como exercício tal verificação.

 Espero ter ajudado!