Question

Resolva, em $\mathbb{C}$, a seguinte equação:
$x\,^4=(x-1)\,^4$

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf x^4 = (x - 1)^4$

$\sf x^4 = (x - 1)^2\:.\:(x - 1)^2$

$\sf x^4 = (x^2 - 2x + 1)\:.\:(x^2 - 2x + 1)$

$\sf x^4 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x + x^2 - 2x + 1$

$\sf x^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

$\boxed{\sf 4x^3 - 6x^2 + 4x - 1 = 0}$

$\sf 4x^3 - 4x^2 - 2x^2 + 2x + 2x - 1 = 0$

$\sf 4x^3 - 4x^2 + 2x - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

$\sf 2x\:.\:(2x^2 - 2x + 1) - 1\:.\:(2x^2 - 2x + 1) = 0$

$\sf (2x - 1)\:.\:(2x^2 - 2x + 1) = 0$

$\boxed{\sf 2x - 1 = 0}$

$\sf 2x = 1$

$\sf x = \dfrac{1}{2}$

$\boxed{\sf 2x^2 - 2x + 1 = 0}$

$\sf a = 2 \Leftrightarrow b = -2 \Leftrightarrow c = 1$

$\sf \Delta = b^2 - 4.a.c$

$\sf \Delta = (-2)^2 - 4.2.1$

$\sf \Delta = 4 - 8$

$\sf \Delta = -4$

$\sf{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-4}}{4} \rightarrow \begin{cases}\sf{x' = \dfrac{2 + 2i}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\:i}\\\\\sf{x'' = \dfrac{2 - 2i}{4} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\:i}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\sf S = \left\{\dfrac{1}{2},\:\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\:i\right),\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\:i\right)\right\}}}$

Answer 2

O conjunto solução no conjunto dos números complexos é:

$\large \text { \sf S = \left\{ \dfrac {1}{2}, ~ \dfrac{1-i}{2}, ~ \dfrac{1+i}{2} \right\} }$

x⁴ = (x − 1)⁴ ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

x² = ±(x − 1)²

$\large\sf x^2=\pm(x-1)^2\begin {cases}\sf x^2=(x-1)^2\\\sf x=\pm(x-1)\begin {cases}\sf x=x-1 \quad \{1\}\\\sf ou \\\sf x=-x+1 \quad \{2\}\end {cases}\\\sf ou\\\\\sf x^2=-(x-1)^2\\\sf x=\pm(x-1)i\begin {cases}\sf x=(x-1)i \quad \{3\}\\\sf ou \\\sf x=-(x-1)i \quad \{4\}\end {cases}\end {cases}$

• Solucione as equações ① a ④.

① x = x − 1 ⟹ Subtraia x de ambos os membros.

x − x = −1 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

0 = −1 ⟹ Falso. Não tem solução.

② x = −x + 1 ⟹ Some x em ambos os membros.

2x = 1 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\boxed {\large \sf x = \dfrac{1}{2} }$

③ x = (x − 1)i ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

x = ix − i ⟹ Subtraia ix de ambos os membros.

x − ix = − i ⟹ Fatore o primeiro membro.

x(1 − i) = − i ⟹ Divida ambos os membros por (1 − i).

$\large \text { \sf x = -\dfrac{i}{1-i} \quad \Longrightarrow \sf Multiplique numerador e denominador por (1+i).}$

$\large \sf x = -\dfrac{i}{1-i} \cdot \dfrac{1+i}{1+i} = -\dfrac{i+i^2}{1^2-i^2} = -\dfrac{i-1}{2}$

$\boxed{\large \sf x = \dfrac{1-i}{2} }$

④ x = −(x − 1)i ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

x = − ix + i ⟹ Some ix em ambos os membros.

x + ix = i ⟹ Fatore o primeiro membro.

x(1 + i) = i ⟹ Divida ambos os membros por (1 + i).

$\large \text { \sf x = \dfrac{i}{1+i} \quad \Longrightarrow \sf Multiplique numerador e denominador por \sf (1-i) .}$

$\large \sf x = \dfrac{i}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} = \dfrac{i-i^2}{1^2-i^2}$

$\boxed{\large \sf x = \dfrac{i+1}{2} }$

• Escreva o conjunto solução.

$\large \text { \sf S = \left\{ \dfrac {1}{2}, ~ \dfrac{1-i}{2}, ~ \dfrac{1+i}{2} \right\} }$

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