Question

Resolva em Reais: x² + 3x + raiz²de(x² + 3x) - 6 = 0

Tentei isolar raiz²de(x² + 3x) = y ----> y² + y - 6 = 0 porém o resultado não bate.

Answer 1

Olá Rebeca, boa noite!

Dada a equação irracional abaixo:

$\mathbf{x^2 + 3x + \sqrt{x^2 + 3x} - 6 = 0}$

Bom! antes de iniciarmos a resolução, é importante ter em mente a importância de verificar se as raízes encontradas satisfazem a equação inicial.

Considere $\mathbf{x^2 + 3x = y}$, daí:

$\\ \mathsf{(x^2 + 3x) + \sqrt{(x^2 + 3x)} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{y + \sqrt{y} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{\sqrt{y} = 6 - y}$

 Elevando ao quadrado,

$\\ \mathsf{(\sqrt{y})^2 = (6 - y)^2} \\\\ \mathsf{y = 36 - 12y + y^2} \\\\ \mathsf{y^2 - 13y + 36 = 0}$

 Resolvendo a equação do 2º grau (faça pelo modo que melhor lhe agrade):

$\\ \mathsf{y^2 - 13y + 36 = 0} \\\\ \mathsf{(y - 9)(y - 4) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ 4, 9 \right \}}}$

 Determinadas as raízes, devemos fazer uma verificação (substituir as raízes na equação irracional).


 Verificando y = 4:

$\\ \mathsf{y + \sqrt{y} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{4 + \sqrt{4} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{4 + 2 - 6 = 0} \\\\ \mathsf{6 - 6 = 0} \\\\ \mathsf{0 = 0 \qquad \qquad (verdadeira)}$


 Verificando y = 9:

$\\ \mathsf{y + \sqrt{y} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{9 + \sqrt{9} - 6 = 0} \\\\ \mathsf{9 + 3 - 6 = 0} \\\\ \mathsf{12 - 6 = 0} \\\\ \mathsf{6 = 0 \qquad \qquad (falsa)}$

 Como podemos notar, APENAS $\underline{\mathsf{y = 4}}$ satisfaz a equação, portanto, para encontrar os valores de "x" substituímos "y" por 4. Segue,

 Ah! lembre-se que, inicialmente, consideramos $x^2 + 3x = y$. Logo,

$\\ \mathsf{x^2 + 3x = y} \\\\ \mathsf{x^2 + 3x = 4} \\\\ \mathsf{x^2 + 3x - 4 = 0} \\\\ \mathsf{(x + 4)(x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_{final} = \left \{ - 4, 1 \right \}}}}$



Obs.: Poderíamos, também, ter considerado as duas raízes da equação em "y" para determinar "x". Desse modo, teríamos QUATRO valores para "x", sendo assim, caberia VERIFICAR tais raízes na equação dada no enunciado...     

 Espero ter ajudado!

Qualquer dúvida, comente.

Att,

Daniel.